Точка Нагеля

Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Точка Нагеля
N — точка Нагеля треугольника ABC
N — точка Нагеля треугольника ABC
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ X(8)
Связанные точки
Изотомически сопряженная точка Жергона
Дополнительная[es] центр вписанной окружности

Обычно обозначается .

СвойстваПравить

 
Прямая Нагеля.  инцентр,   — центроид,   — центр Шпикера,   — точка Нагеля.
  • Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
  • Если точки  ,  ,   таковы, что каждый из отрезков  ,   и   делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
  • Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
  • Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
  • Расстояние между ортоцентром   и точкой Нагеля   равно диаметру окружности Фурмана и равно
 .

Треугольник НагеляПравить

* Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника   определяется вершинами  ,   и  , которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника   и точка   противоположна стороне  , и т. д.

СвойстваПравить

  • Описанная вокруг треугольника   окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
  • Три прямые  ,   и   делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля   — X(8).
  • Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[4].
  • Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.
 
Анимация построения точки Нагеля

ЗамечаниеПравить

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

ИсторияПравить

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Weisstein, Eric W. Fuhrmann Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
  3. Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929.
  4. Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 11, п. 5. — (Библиотека «Математическое просвещение»).

СсылкиПравить