Открыть главное меню
Точки и изогонально сопряжены
Преобразование над точками внутри треугольника

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника относительно биссектрис углов треугольника.

Содержание

ОпределениеПравить

Точки   и   называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными[1]) в треугольнике  , если  ,  ,  . Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

СвойстваПравить

  • Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
  • Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
  • Если точки  ,  ,   симметричны точке   относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности   изогонально сопряжён точке  .
  • Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.

Пары изогонально сопряженных линийПравить

Пары изогонально сопряжённых точекПравить

 
Ортоцентр   и центр описанной окружности   изогонально сопряжены.

Координатная записьПравить

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:

 ,

где  ,  ,   — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:

 ,

поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщенияПравить

Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению[4].

СледствияПравить

ПримечанияПравить

  1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
  2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
  3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
  4. Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях (недоступная ссылка)

См. такжеПравить