Омега (постоянная)

Постоянная омега — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, которое удовлетворяет уравнению

$\Omega e^{\Omega }=1$.

Это значение $W(1)$, где $W$ — W-функция Ламберта. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение $\Omega$:

$\Omega =0.567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots$ (последовательность A030178 в OEIS)

${\frac {1}{\Omega }}=1.763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots$ (последовательность A030797 в OEIS)

Свойства

Представление в виде неподвижной точки отображения

Определяющее соотношение можно выразить, например, как

$\ln {\biggl (}{\frac {1}{\Omega }}{\biggr )}=\Omega$

или

$-\ln(\Omega )=\Omega$

или

$e^{-\Omega }=\Omega$

Вычисление

Можно вычислить $\Omega$ итеративно, начав с первоначального предположения $\Omega _{0}$ и рассмотрев последовательность

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}$

Эта последовательность сходится к $\Omega$, когда n стремится к бесконечности. Это потому, что $\Omega$ является притягивающей неподвижной точкой функции $e^{-x}$. Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}$,

потому что функция

$f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}}$,

помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея, $\Omega$ можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:

$\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}$.

Интегральные представления

Тождество Виктора Адамчика:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}$.

Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо:

$\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt$,

$\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt$.

Трансцендентность

Константа $\Omega$ трансцендентна. Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана — Вейерштрасса. Предположим, что $\Omega$ алгебраическое. По теореме $e^{-\Omega }$ трансцендентно, но $\Omega =e^{-\Omega }$; противоречие. Следовательно, $\Omega$ должно быть трансцендентным числом.

См. также

• W-функция Ламберта

Источники

• Weisstein, Eric W. Omega Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• "Omega constant (1,000,000 digits)", Darkside communication group (in Japan), Дата обращения: 25 декабря 2017