Метод итерации

Метод итерации или метод простой итерациичисленный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения, являющегося более точным.

Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (в результате итерационного процесса). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня.

Описание метода

править

Пусть СЛАУ представлена в виде:

 

Выбирается начальное приближение  . На каждом шаге считается новое приближение   из старого   по формуле

 

или в координатной форме

 .

Приближения продолжают считаться до того, пока не достигнут нужной степени точности. Достигло ли приближение нужной степени точности или нет проверяется при помощи условия остановки, которые могут отличаться в разных реализациях.

Приведение СЛАУ к нужному виду

править

Пусть дана СЛАУ

 

Для того, чтобы воспользоваться методом простой итерации, необходимо привести её к виду  . Представим матрицу   в виде  , где   — обратима. Тогда система приводится к виду   следующим образом:

 
 
 

Матрицы   и   могут быть выбраны различными способами; в зависимости от конкретного способа получаются различные разновидности метода. Обозначим далее за   — строго нижнюю треугольную часть  , за   — диагональную часть  , за   — строго верхнюю треугольную часть  . Получающиеся таким способом разновидности эквиваленты следующим методам:

Здесь эквивалентность понимается в смысле равенства последовательностей приближений   при равенстве начальных приближений  .

Условия сходимости процесса

править

Необходимое и достаточное условие сходимости:  , где —   спектральный радиус  [1].

Достаточное условие сходимости:  [1].

В частности при выборе нормы, подчинённой векторной   условие сходимости приобретает вид   (где  ).

При выборе нормы   условие приобретает вид   (где  ), что называют условием диагонального преобладания исходной матрицы  .

Оценка погрешности

править

Пусть   — вектор точного решения. Тогда можно получить следующие оценки погрешности приближённого решения   на  -м шаге алгоритма[2]:

  • априорная:
 
  • апостериорная:
 

Примечания

править

Литература

править
  • Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Физматлит, 1959. — Т. II.
  • Лебедева, А. В., Пакулина, А. Н.. Практикум по методам вычислений. Часть 1. — СПб.: СПбГУ, 2021. — 156 с.