Метод итерации

Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов(итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x0.

Описание методаПравить

Пусть дана СЛАУ вида:  , где:
 

Предполагая, что   не равно 0,  . Выразим   через первое уравнение,   — через второе и т. д.  
Обозначим:

 ,  ,   ,

  при  ,
 
В матричном виде получим:  

За нулевое приближение примем столбец свободных членов.

  — нулевое приближение;

  — первое приближение;

  — второе приближение и т. д.;

 ,  

  — решение системы.

Условия сходимости процессаПравить

Метод итерации применяют в случае, если сходится последовательность приближений по указанному алгоритму . Условие сходимости:  ; в частности при выборе нормы, подчинённой векторной   приобретает вид   (где  ) или, при выборе   приобретает вид   (где  ), что называют условием диагонального преобладания исходной матрицы  .

Оценка погрешностиПравить

 ,

 ,

где   — точность,   — вектор точных значений,

  — одна из трёх норм вектора  ,   — согласованная с выбранной для вектора норма матрицы  .