Оператор Дирака

Оператор Дирака — общее название дифференциальных операторов, которые являются квадратными корнями некоторого оператора второго порядка, чаще всего оператора Лапласа и его аналогов.

То есть оператор $D$ является оператором Дирака для данного оператора второго порядка $\Delta$ , если

D^{2}=\Delta .

В физике высоких энергий это требование часто ослабляется: предполагается только, что главная часть $D^{2}$ совпадает с $\Delta$ .

Примеры

$D=-i\cdot \partial _{x}$ является оператором Дирака на касательном расслоении над прямой.
Для дифференциальных форм на римановом многообразии оператор Дирака можно определить как

D=\sum _{i}e_{i}\bullet \nabla _{e_{i}},

где

e_{i}

— ортонормированный репер в точке,

\nabla

\bullet

D^{2}=\sum _{i,j}e_{i}\bullet e_{j}\bullet \nabla _{e_{i},e_{j}}^{2}

называется лапласианом Дирака; для функций он совпадает с оператором Лапласа — Бельтрами, но он также определён на формах всех степеней.