Связь оператора эволюции с оператором Гамильтона
править
Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:
S
^
(
t
,
t
0
)
=
T
{
exp
(
−
i
ℏ
∫
t
0
t
H
(
t
′
)
d
t
′
)
}
,
t
>
t
0
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}
S
^
(
t
,
t
0
)
=
T
¯
{
exp
(
i
ℏ
∫
t
t
0
H
(
t
′
)
d
t
′
)
}
,
t
<
t
0
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t_{0}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}}
где
T
,
T
¯
{\displaystyle T,{\overline {T}}}
— операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:
S
^
(
t
,
t
0
)
=
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }}
Свойства оператора эволюции
править
1.
S
^
(
t
2
,
t
1
)
{\displaystyle {\hat {S}}(t_{2},t_{1})}
[1] — унитарный оператор.
2.
S
^
(
t
3
,
t
2
)
S
^
(
t
2
,
t
1
)
=
S
^
(
t
3
,
t
1
)
,
∀
t
1
,
t
2
,
t
3
{\displaystyle {\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}}
.
3.
S
^
(
t
,
t
1
)
S
^
(
t
1
,
t
)
=
I
^
,
∀
t
1
,
t
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1},t}
[2] , где
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
— единичный оператор.
Вывод соотношения между оператором эволюции и гамильтонианом
править
Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства
|
Ψ
⟩
{\displaystyle |\Psi \rangle }
. Введём оператор
S
^
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}
, который действует по правилу:
S
^
(
t
,
t
0
)
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
=
|
Ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle }
.
Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени.
В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
H
^
(
t
)
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
Ψ
(
t
)
⟩
,
{\displaystyle {\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,}
где
H
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {H}}(t)}
— оператор Гамильтона .
Если гамильтониан не зависит от времени, то
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }
— является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:
S
^
(
t
,
t
0
)
=
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }}
.
Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть
t
0
<
t
{\displaystyle t_{0}<t}
. Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы
(
t
n
,
t
n
+
1
)
{\displaystyle (t_{n},t_{n+1})}
и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен
H
^
(
t
)
=
H
^
(
t
n
)
{\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}(t_{n})}
, при
t
n
<
t
≤
t
n
+
1
{\displaystyle t_{n}<t\leq t_{n+1}}
. Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
^
(
t
n
)
(
t
−
t
n
)
/
ℏ
|
Ψ
(
t
n
)
⟩
=
e
−
i
H
^
(
t
n
)
(
t
−
t
n
)
/
ℏ
…
e
−
i
H
^
(
t
1
)
(
t
2
−
t
1
)
/
ℏ
e
−
i
H
^
(
t
0
)
(
t
1
−
t
0
)
/
ℏ
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\left|\Psi (t_{n})\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }
.
Теперь введём оператор упорядочивания по времени
T
{\displaystyle T}
, который действует по следующему правилу:
T
{
H
^
(
t
P
(
m
)
)
H
^
(
t
P
(
m
−
1
)
)
…
H
^
P
(
1
)
}
=
H
^
(
t
m
)
H
^
(
t
m
−
1
)
…
H
^
(
t
1
)
{\displaystyle T\{{\hat {H}}(t_{P(m)}){\hat {H}}(t_{P(m-1)})\dots {\hat {H}}_{P(1)}\}={\hat {H}}(t_{m}){\hat {H}}(t_{m-1})\dots {\hat {H}}(t_{1})}
при
t
1
≤
t
2
≤
⋯
≤
t
m
{\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{m}}
, для любой перестановки
P
(
1
,
2
…
,
m
)
{\displaystyle P(1,2\dots ,m)}
.
С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
T
{
e
−
i
H
^
(
t
n
)
(
t
−
t
n
)
/
ℏ
…
e
−
i
H
^
(
t
1
)
(
t
2
−
t
1
)
/
ℏ
e
−
i
H
^
(
t
0
)
(
t
1
−
t
0
)
/
ℏ
}
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }
.
Для коммутирующих операторов
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
справедливо, что
e
A
^
e
B
^
=
e
A
^
+
B
^
{\displaystyle e^{\hat {A}}e^{\hat {B}}=e^{{\hat {A}}+{\hat {B}}}}
. Так как операторы под знаком T -упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
T
{
e
−
i
∑
i
=
0
n
H
^
(
t
i
)
Δ
t
i
/
ℏ
}
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\sum \limits _{i=0}^{n}{\hat {H}}(t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }
.
При
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
получаем, что
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
T
{
e
−
i
∫
t
0
t
H
^
(
t
′
)
d
t
′
/
ℏ
}
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle }
.
Поэтому
S
^
(
t
,
t
0
)
=
T
{
exp
(
−
i
ℏ
∫
t
0
t
H
(
t
′
)
d
t
′
)
}
,
t
>
t
0
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}
.
Теперь рассмотрим оператор
S
^
(
t
,
t
0
)
{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}
при
t
<
t
0
{\displaystyle t<t_{0}}
. Это то же самое, если рассмотреть
S
^
(
t
0
,
t
)
{\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t)}
при
t
0
<
t
{\displaystyle t_{0}<t}
. Воспользуемся тем, что
S
^
(
t
0
,
t
)
S
^
(
t
,
t
0
)
=
I
^
{\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t){\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {I}}}
,
где
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
— единичный оператор.
Тогда:
lim
n
→
0
S
^
(
t
0
,
t
)
e
−
i
H
^
(
t
n
)
(
t
−
t
n
)
/
ℏ
…
e
−
i
H
^
(
t
1
)
(
t
2
−
t
1
)
/
ℏ
e
−
i
H
^
(
t
0
)
(
t
1
−
t
0
)
/
ℏ
=
I
^
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow 0}{\hat {S}}(t_{0},t)e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }={\hat {I}}}
и непосредственной проверкой убеждаемся, что
S
^
(
t
0
,
t
)
=
lim
n
→
0
e
i
H
^
(
t
0
)
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
…
e
i
H
^
(
t
n
−
1
)
(
t
n
−
t
n
−
1
)
/
ℏ
e
−
i
H
^
(
t
)
(
t
−
t
n
)
/
ℏ
=
T
¯
{
exp
(
i
ℏ
∫
t
0
t
H
(
t
′
)
d
t
′
)
}
,
t
>
t
0
{\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t)=\lim _{n\rightarrow 0}e^{i{\hat {H}}(t_{0})(t-t_{0})/\hbar }\dots e^{i{\hat {H}}(t_{n-1})(t_{n}-t_{n-1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t)(t-t_{n})/\hbar }={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}
,
где
T
¯
{\displaystyle {\overline {T}}}
— оператор анти-упорядочивания по времени.
↑ Оператор эволюции должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени
⟨
Ψ
(
t
)
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
⟨
Ψ
(
t
0
)
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle }
.
↑ Свойство 3 является следствием свойства 2.