Пентатопное число

Пентато́пные чи́сла, называемые также гипертетраэдральными — это фигурные числа, представляющие правильные четырёхмерные симплексы (пентатопы или гипертетраэдры). Пентатопные числа являются четырёхмерным обобщением плоских треугольных и пространственных тетраэдральных чисел.

Определение и общая формула

$n$ -е по порядку пентатопное число определяется как сумма первых $n$ тетраэдральных чисел.

Начало последовательности пентатопных чисел:

1,5,15,35,70,126,210,330,495,715,\dots

(последовательность A000292 в OEIS).

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\{\color {red}1}\quad 3\ \quad 3\quad 1\\{\color {green}1}\quad {\color {red}4}\ \quad 6\ \quad 4\quad 1\\1\quad {\color {green}5}\quad {\color {red}10}\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad {\color {green}15}\quad {\color {red}20}\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad {\color {green}35}\quad {\color {red}35}\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}

Тетраэдральные (красные) и пентатопные (зелёные) числа в треугольнике Паскаля

Общая формула для $n$ -го по порядку пентатопного числа $PT_{n}$ :

PT_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n+3 \choose 4}

Пентатопные числа находятся на 5-й диагональной линии в треугольнике Паскаля (см. рисунок), под диагональю тетраэдральных чисел.

Два из каждых трёх пентатопных чисел (номера которых не делятся на 3) являются пятиугольными числами^[1].

Ряд из обратных пентатопных чисел сходится^[2]:

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{35}}\dots ={\frac {4}{3}}

В биохимии пентатопные числа представляют количество возможных расположений $n$ различных белковых субъединиц в тетраэдральном белке^[англ.].

↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 129.
↑ Rockett, Andrew M. (1981), "Sums of the inverses of binomial coefficients" (PDF), Fibonacci Quarterly, 19 (5): 433—437 Архивная копия от 9 августа 2020 на Wayback Machine. Theorem 2, p. 435.

Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.