Открыть главное меню

Признаки подобия треугольников

(перенаправлено с «Подобие треугольников»)

Подобные треугольники в евклидовой геометрии — треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

В данной статье рассматриваются свойства подобных треугольников в евклидовой геометрии. Некоторые утверждения являются неверными для неевклидовых геометрий.

Признаки подобия треугольниковПравить

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными, без использования всех элементов.

Первый признакПравить

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

то есть:  

Дано:   и  

Доказать:  

Следствия первого признака подобияПравить

  • Если три разные стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трем разным сходственным сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».
  • Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.

Второй признакПравить

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.


Дано:   и  

Доказать:  

Третий признакПравить

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано:   и   =   =  .

Доказать:  

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПравить

  1. По острому углу — см. первый признак;
  2. По двум катетам — см. второй признак;
  3. По катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольниковПравить

Примеры подобных треугольниковПравить

Подобны следующие виды треугольников:

  • Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
  • Треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
  • Треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
  • Исходный треугольник   по отношению к ортотреугольнику является треугольником трёх внешних биссектрис[1].
  • Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
  • Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
  • Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
  • Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
  • Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
  • Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному[2]. Здесь использованы определения:
    • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
    • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольниковПравить

Подобие в прямоугольном треугольникеПравить

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

Связанные определенияПравить

  • Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
  • Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
  2. Система задач по геометрии Р. К. Гордина. Задача 6480

ЛитератураПравить

  • Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:
  • Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

СсылкиПравить