Полугеодезические координаты

Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ в $n$-мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие $x_{1}$, являются геодезическими, на которых $x_{1}$ играет роль натурального параметра, а координатные поверхности $x_{1}=\mathrm {const}$ ― ортогональны этим геодезическим.

В полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид

$\mathrm {I} =dx_{1}^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}dx_{i}dx_{j},$

то есть $g_{11}\equiv 1$ и $g_{1j}\equiv 0$ при всех $j>1$.

Примеры

• Декартовы координаты на евклидовом пространстве являются полугеодезическими.

• Пространство Лобачевского допускает полугеодезические координаты с метрическим тензором

  ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&e^{2\cdot x_{1}}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&e^{2\cdot x_{1}}\end{pmatrix}}$

  • Иначе говоря, $n$-мерное пространство Лобачевского изометрично искривлённому произведению $\mathbb {R} ^{n-1}{\mathrel {{\times }_{\exp }}}\mathbb {R}$.

Свойства

• Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки любого риманова многообразия.

• Любое полное одновязное многообразие неположительной кривизны допускает глобальные полугеодезические координаты с первой координатой равной функции Буземана.

• В случае двумерной поверхности (многообразия) первая квадратичная форма в полугеодезических координатах $u,v$ имеет вид

  $\mathrm {I} =du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2}$

с положительной функцией $B(u,v)$, при этом гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле

$K=-B_{uu}/B.$

Литература

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, М.: Наука, 1981.
• W. Klingenberg. Riemannian geometry, de Gruyter (1982).
• W. Klingenberg. A course in differential geometry, Springer (1983).
• B. O'Neill. Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity), Acad. Press (1983).

Ссылки

• А. В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс.
• Encyclopedia of Mathematics