Искривлённое произведение

Искривлённое произведение римановых, а также псевдоримановых многообразий — обобщение прямого произведения. 

Определение

Пусть $B=(B,g)$ и $F=(F,h)$ — два псевдоримановых многообразия и $f\colon B\to \mathbb {R}$ гладкая положительная функция. Тогда произведение $B\times F$ с метрикой $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ называется искривлённым произведением $B=(B,g)$ и $F=(F,h)$ по функции $f$. Точнее, касательное пространство $\mathrm {T} _{(b,x)}(B\times F)$ можно идентифицировать с произведением касательных пространств $\mathrm {T} _{b}B\times \mathrm {T} _{x}F$ и значит на нём можно рассмотреть прямую сумму квадратичных форм $g\oplus (f^{2}\cdot h)$, она и определяется как метрический тензор в точке$(b,x)$.

Искривлённое произведение $(B\times F,g\oplus (f^{2}\cdot h))$ обычно обозначается $F{\mathrel {{\times }_{f}}}B$.

Функция $f$ также называется функцией искривления. Пространство $B=(B,g)$ называется базой, а пространство $F=(F,h)$ — слоем искривлённого произведения $F{\mathrel {{\times }_{f}}}B$.

Свойства

• Каждый слой $b\times F\subset B\times F$ в $F{\mathrel {{\times }_{f}}}B$ изометричен $f(b)\cdot F=(F,f^{2}(b)\cdot h)$.
• Каждый уровень $B\times x\subset B\times F$ глобально изометричен базе $B=(B,g)$.
• Расстояния между точками $(b_{1},x_{1}),(b_{2},x_{2})\in F{\mathrel {{\times }_{f}}}B$ полностью определяются по базе $B=(B,g)$, двум точкам $b_{1},b_{2}\in B$, функцией $f\colon B\to \mathbb {R}$ и расстоянием между $x_{1}$ и $x_{2}$ в слое $F$.

Примеры

• Искривлённое произведение $\mathbb {R} {\mathrel {{\times }_{\exp }}}\mathbb {R}$ изометрично плоскости Лобачевского.
• Поверхность вращения всегда изометрична искривлённому произведению $\mathbb {S} ^{1}{\mathrel {{\times }_{f}}}\mathbb {I}$ для некоторой функции искривления и вещественного интервала $\mathbb {I}$.
• Многие решения уравнения Эйнштейна, можно представить как искривлённые произведения, например,
  • Метрика Шварцшильда,
  • Вселенная Фридмана.

Вариации и обобщения

• Искривлённое произведение естественным образом обобщается на произведения метрических пространств с внутренней метрикой.