Полугруппа операторов

Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине XX века в работах таких известных математиков, как Хилле (англ. Einar Hille), Филлипса (англ. Ralph Saul Phillips), Иосиды, Феллера. Основные применения этой теории: абстрактные задачи Коши, параболические уравнения, случайные процессы.

Определение

Пусть $X$ — банахово пространство. Полугруппой операторов $\{T_{t}\}_{t\geqslant 0}$ в пространстве $X$ называется семейство ограниченных операторов $T_{t}:X\to X$, $t\geqslant 0$, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. $T_{t}T_{s}=T_{t+s}$, где умножение операторов есть композиция этих отображений.
2. $T_{0}=I$, где $I$ есть единичный оператор в пространстве $X$.

Из определения полугруппы следует, что для любой полугруппы существуют такие константы $M>0,\alpha \in R$, что:

$\|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.$

Генератор полугруппы

Центральным понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы. Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы $T_{t}$ называется оператор

$A:X\supset D(A)\to X$

$A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t}},\ \varphi \in D(A),$

где область определения $D(A)$ определяется как множество таких элементов, что данный предел существует. Генератор полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если полугруппа сильнонепрерывна, то область определения генератора является плотной в $X$, а сам генератор есть замкнутый оператор. С другой стороны не каждый замкнутый, плотно определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно определяется по полугруппе; генератор однозначно определяет полугруппу, если она сильнонепрерывна.

Виды полугрупп

В зависимости от гладкости по параметру рассматриваются различные виды полугрупп.

Полугруппа $T_{t}$ называется равномернонепрерывной, если выполнено следующее условие:

$\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0$,

где предел понимается в смысле операторной топологии.

Полугруппа $T_{t}$ называется $C_{0}$-полугруппой или сильно непрерывной полугруппой, если выполнено условие:

$\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0$,

для любого фиксированного элемента $\varphi \in X$.

Большую роль в приложениях играют сжимающие полугруппы. Сильно непрерывная полугруппа называется сжимающей если выполнено следующее условие:

$\|T_{t}\|\leqslant 1$.

Сильно непрерывная полугруппа $T_{t}$ называется аналитической полугруппой, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор

$\Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2$,

таким образом, что $T_{\lambda }$ непрерывна в ${\overline {\Delta }}_{\delta }$.

Критерии для генераторов полугрупп

Линейный оператор $A$ в пространстве $X$ порождает равномерно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда $A$ является ограниченным оператором. Отсюда следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно непрерывными.

Критерием для генератора сильно непрерывной полугруппы является следующая теорема: линейный оператор $A$ является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор $A$ замкнутый.
2. Область определения $D(A)$ плотно в $X$.
3. Существует такое $\lambda _{0}$, что все числа $\lambda \geqslant \lambda _{0}$ являются резольвентными для оператора $A$.
4. Существует такая константа $c_{1}>0$, что для всех $\lambda >\lambda _{0}$ выполнено неравенство

$\|(\lambda I-A)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k=1,2,\dots$

Если вместо условия 4) выполнено условие

$\|\lambda I-A\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0}}},$

то оператор $A$ также будет генератором сильно непрерывной полугруппой. Случай $\lambda _{0}=0$ известен как теорема Хилле — Иосиды: линейный оператор $A$ является генератором сжимающей полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор $A$ замкнутый.
2. Область определения $D(A)$ плотно в $X$.
3. Все числа $\lambda \geqslant 0$ являются резольвентными для оператора $A$.
4. Для всех $\lambda >0$ выполнено неравенство:

   $\|\lambda I-A\|\leqslant {\frac {1}{\lambda }},$

Для того, чтобы генератор сильно непрерывной полугруппы $A$ был генератором аналитической полугруппы необходимо потребовать значительно больших условий на спектр оператора $A$.

Оператор $A$ является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существуют числа $\pi /2<\omega \leqslant \pi$ и $q\geqslant 0$, что множество $\Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\}$ свободно от спектра оператора $A$ и выполнено неравенство

$\|(\lambda I-A)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },$

где константа $c_{2}>0$ не зависит от $\lambda$.

Ещё один эквивалентный критерий для генератора аналитической полугруппы — генератор сильно непрерывной полугруппы является генератором аналитической полугруппы, если

$\|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,$

где $C>0$ — константа, независящая от $t$.

Литература

• Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
• Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.
• Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
• Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
• Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, N.Y., 2000.
• Р. В. Шамин. Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008. — 205 с.