Полупростая группа Ли — связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Иногда требование связности опускают.

Группа Ли полупроста тогда и только тогда, когда её касательная алгебра полупроста, то есть раскладывается в прямую сумму простых алгебр[1].

Свойства править

  • Всякая связная полупростая группа Ли допускает точное конечномерное линейное представление[2].
  • Односвязная полупростая группа Ли однозначно (с точностью до изоморфизма групп Ли) определяется своей схемой Дынкина[3].
  • Всякая полупростая группа Ли является центральным расширением произведения простых групп Ли[источник не указан 813 дней].
  • Неприводимое конечномерное представление связной полупростой группы Ли однозначно (с точностью до изоморфизма представлений) определяется своим старшим весом[en][4].

Применение править

Теорема Леви-Мальцева о разложении Леви[en] утверждает, что любая односвязная группа Ли является полупрямым произведением разрешимой нормальной подгруппы и полупростой подгруппы. Для многих задач это позволяет рассматривать отдельно теорию разрешимых групп Ли и отдельно — полупростых.


Примечания править

Литература править

  • Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — Москва: Наука, 1988. — 344 с. — ISBN 5-02-013721-9.