Попарная независимость

В теории вероятностей, попарно независимый набор случайных величин — это множество случайных величин, любая пара которых независима[1]. Любой набор независимых в совокупности случайных величин является попарно независимым, но не все попарно независимые наборы являются независимыми в совокупности. Попарно независимые случайные величины с конечной дисперсией не являются коррелированными.

На практике, если это не выводится из контекста, считается, что независимость означает независимость в совокупности. Таким образом, предложение вида «, , являются независимыми случайными величинами» означает, что , , являются независимыми в совокупности.

ПримерПравить

Независимость в совокупности не следует из попарной независимости, как показано в следующем примере, приписываемом С. Н. Бернштейну[2]

Пусть случайные величины   и   обозначают два независимых подбрасывания монетки. Положим 1 обозначает выпадение орла, 0 — решки. Пусть   — случайная величина, равная 1, если в результате ровно одного из двух подбрасываний монетки выпал орёл, и 0 в противном случае. Тогда тройка   имеет следующее вероятностное распределение:

      с вероятностью 1/4,
  с вероятностью 1/4,
  с вероятностью 1/4,
  с вероятностью 1/4.

Заметим, что распределения каждой случайной величины по отдельности равны:   и  . Распределения любых пар этих величин также равны:  , где  

Поскольку каждое из попарных совместных распределений равно произведению соответствующих им маргинальных распределений, случайные величины являются попарно независимыми:

  •   и   независимы,
  •   и   независимы,
  •   и   независимы.

Несмотря на это,  ,   и   не являются независимыми в совокупности, поскольку  . Для   левая часть равна 1/4, а правая — 1/8. При этом любая из трёх случайных величин  ,   и   однозначно определяется двумя другими и равняется их сумме, взятой по модулю 2.

ОбобщениеПравить

В общем случае для любого   можно говорить о  -арной независимости. Идея схожа: набор случайных величин является  -арно независимым, если любое его подмножество мощности   является независимым в совокупности.  -арная независимость использовалась в теоретической информатике для доказательства теоремы о задаче MAXEkSAT.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. Gut, A. Probability: a Graduate Course (неопр.). — Springer-Verlag, 2005. — ISBN 0-387-27332-8. стр. 71—72.
  2. Hogg R. V., McKean J. W., Craig A. T. Introduction to Mathematical Statistics (неопр.). — 6. — Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2005. — ISBN 0-13-008507-3. Remark 2.6.1, p. 120.