Постоянная Голомба — Дикмана

Постоянная Голомба — Дикмана — математическая константа, возникающая в случайных перестановках и в теории чисел, равная[1]:

.

Названа по именам Соломона Голомба и Карла Дикмана. Вычисляется из всех перестановок множества из элементов с использованием средней длины наиболее длинного цикла перестановки :

.

С точки зрения теории вероятностей является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из элементов.

В теории чисел постоянная возникает в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа:

где  — наибольший простой делитель числа . Таким образом, если  — -значное десятичное целое, то является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе .

Другой источник из теории чисел — вероятность того, что второй по величине простой делитель числа меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя , асимптотически равная :

где  — второй по величине простой делитель .

Существует несколько интегральных представлений для :

, где  — модифицированная интегральная показательная функция,
, где  — это функция Дикмана.

Вопрос о рациональности или иррациональности постоянной открыт.

ПримечанияПравить

  1. последовательность A084945 в OEIS

СсылкиПравить