Постулат Бертрана

Постулат Бертрана, теорема Бертрана — Чебышёва или теорема Чебышёва гласит, что

Для любого натурального n ⩾ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.

Постулат Бертрана был сформулирован в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до n = 3 000 000) и доказан в 1852 году[1] Чебышёвым. Рамануджан в 1919 году нашёл более простое доказательство и доказал, что число простых чисел в интервале n < p < 2n можно ограничить снизу неубывающей последовательностью, которая стремится к бесконечности, такой что в простых числах Рамануджана достигается равенство. Эрдёш в 1932 году ещё более упростил доказательство.

ОбобщенияПравить

Обобщением постулата Бертрана можно считать теорему о том, что для   среди чисел   всегда существует число с простым делителем больше  . Это утверждение было доказано Сильвестром в 1892 году. При   оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай.

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что для любого   существует число   такое, что для любых   существует простое число  , удовлетворяющее  . Более того, для фиксированного   количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом  [2]. В частности, например, при   всегда найдётся простое число между   и  [3].

ГипотезыПравить

Гипотеза Лежандра гласит, что для любого   найдётся простое число   в интервале  . Гипотеза Оппермана и гипотеза Андрицы задают такой же порядок роста интервала, включающего хотя бы одно простое число.

Наиболее сильной является гипотеза Крамера, которая гласит, что

 

Все эти гипотезы не доказаны и не опровергнуты.

ДоказательствоПравить

ПримечанияПравить

  1. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  2. G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008, p. 494.
  3. J. Nagura. On the interval containing at least one prime number // Proceedings of the Japan Academy, Series A. — 1952. — Vol. 28. — P. 177–181. — doi:10.3792/pja/1195570997.

ЛитератураПравить