Потенциальный оператор

Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.

Определение

Обозначим $E$ — вещественное нормированное пространство, $E^{*}$ — сопряжённое к нему пространство,$A$ — открытое множество из $E$. Оператор $F:A\rightarrow E^{*}$ называется потенциальным, если для всякого $x\in A$ существует такой функционал $f(x)\in E^{*}$, что $F(x)=gradf(x)$. Функционал $f(x)$ называется потенциалом оператора $F$.

Условие потенциальности операторов

Пусть оператор $F:E\rightarrow E^{*}$ дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества $\omega \subset E$. Тогда если дифференциал $DF(x,h)$ непрерывен по $x$ в каждой точке из $\omega$, то для потенциальности $F$ в $\omega$ необходимо и достаточно, чтобы $F$ был симметрическим в $\omega$.

Пояснения

Оператор $F:E\rightarrow E^{*}$ называется симметрическим в точке $x_{0}$, если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и для любых $h_{1},h_{2}\in E$ выполняется равенство $\langle DF(x_{0},h_{1})h_{2}\rangle =\langle DF(x_{0},h_{2})h_{1}\rangle$.

Оператор Немыцкого

Оператор Немыцкого задаётся формулой $hu=g(u(x),x)$, где $g(u,x)$ — вещественная функция, непрерывная по $u\in [-\infty ,+\infty ]$ при почти каждом фиксированном $x\in B$ и измерима как функция $x$ при всяком фиксированном $u$ и выполнено неравенство $|g(u,x)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1}$, где $p>1$, $a(x)\in L^{p}(B)$, $B$ — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее $s$-мерному евклидову пространству.

Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега $L^{p}(B)$ в пространство Лебега $L^{q}(B)$, где $p^{-1}+q^{-1}=1$ и его потенциал $f$ определяется формулой $f(u)=f_{0}+\int _{B}dx\int _{0}^{u(x)}g(v,x)dv$, где $f_{0}$ — произвольное число.

Литература

• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.