Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.

Определение

править

Обозначим   — вещественное нормированное пространство,   — сопряжённое к нему пространство,  — открытое множество из  . Оператор   называется потенциальным, если для всякого   существует такой функционал  , что  . Функционал   называется потенциалом оператора  [1].

Условие потенциальности операторов

править

Пусть оператор   дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества  . Тогда если дифференциал   непрерывен по   в каждой точке из  , то для потенциальности   в   необходимо и достаточно, чтобы   был симметрическим в  [2].

Пояснения

править

Оператор   называется симметрическим в точке  , если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки   и для любых   выполняется равенство  .

Оператор Немыцкого

править

Оператор Немыцкого задаётся формулой  , где   — вещественная функция, непрерывная по   при почти каждом фиксированном   и измерима как функция   при всяком фиксированном   и выполнено неравенство  , где  ,  ,   — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее  -мерному евклидову пространству[1].

Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега   в пространство Лебега  , где   и его потенциал   определяется формулой  , где   — произвольное число.

Примечания

править

Литература

править
  • Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.