Преобразование Ханкеля

В математике преобразование Ханкеля порядка функции задаётся формулой

где функция Бесселя первого рода порядка и . Обратным преобразованием Ханкеля функции называют выражение

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже.

Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя — Фурье.

Область определения

править

Преобразование Ханкеля функции   верно для любых точек на интервале  , в которых функция   непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

 

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например,  ).

Ортогональность

править

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом  :

 

для  .

Преобразование Ханкеля некоторых функций

править
   
   
   
   
    для нечётных m,

  для чётных m.

   
   

См. также

править

Ссылки

править
  • Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5.
  • Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.