Примарная абелева группа

-примарная абелева группа (где  — фиксированное простое число) — абелева группа , такая что порядок любого элемента из является степенью .

ПримерыПравить

  •   — аддитивная группа классов вычетов по модулю  ;
  •   — аддитивная группа кольца многочленов над полем  .

СвойстваПравить

  • Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму  -примарных подгрупп.

Примарная абелева группа   называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный  .

  • Абелева группа   является  -примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида  .

 -высотой элемента   называется наименьшее натуральное число  , такое что  . Если такого натурального   не существует, то элемент   имеет бесконечную  -высоту.

  • Критерий Куликова:  -примарная абелева группа   является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда   есть объединение возрастающей цепочки подгрупп
 ,

где  -высоты ненулевых элементов подгрупп   меньше фиксированного элемента  .

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера:

  • Первая теорема Прюфера: Ограниченная  -примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
  • Вторая теорема Прюфера: Счетная  -примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной  -высоты.

ЛитератураПравить

  • Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
  • Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник, 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
  • H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.