Проблема Кадисона — Зингера

Проблема Кадисона — Зингера — математическая гипотеза, выдвинутая в 1959 году и подтвержденная в 2013 году, согласно которой расширения линейных функционалов на $C^{*}$-алгебре при некоторых ограничениях являются единственными.

Впервые утверждение встречается в работах Поля Дирака по квантовой механике 1940-х годов, формализовано в 1959 году Ричардом Кадисоном и Изадором Зингером. Впоследствии было показано, что это утверждение эквивалентно многочисленным открытым математическим проблемам, а также ряду гипотез из прикладных направлений. Кадисон, Зингер и большинство изучавших проблему специалистов считали утверждение ложным, однако в 2013 году его истинность была доказана Адамом Маркусом, Дэниелом Спилменом и Нихилом Шриваставой, получившими в 2014 году Премию Пойи за этот результат.

Решение стало возможным благодаря альтернативной формулировке, предложенной Джоэлом Андерсоном: в 1979 году им доказана эквивалентность проблемы Кадисона — Зингера сформулированной им «гипотезе о брусчатке», в которой присутствуют операторы только в конечномерных гильбертовых пространствах. Ник Уивер предложил другую формулировку для конечномерного случая, и эта версия и была доказана с помощью техники случайных многочленов.

Оригинальная формулировка

Оригинальная формулировка использует сепарабельное гильбертово пространство $\ell ^{2}$ℓ² и две связанные с ним $C^{*}$-алгебры — алгебру $B$ всех непрерывных линейных операторов $\ell ^{2}\to \ell ^{2}$ и алгеброй $D$ всех диагональных непрерывных линейных операторов $\ell ^{2}\to \ell ^{2}$.

Состоянием на $C^{*}$-алгебре $A$ называют линейный функционал $\varphi \colon A\to \mathbb {C}$ такой, что $\varphi (I)=1$ (где $I$ обозначает нейтральный элемент алгебры) и $\varphi (T)\geqslant 0$ для любого $T\geqslant 0$. Такое состояние называется чистым, если оно является экстремальной точкой множества всех состояний на $A$ (то есть если его нельзя записать в виде выпуклой комбинации других состояний на $A$).

По теореме Хана — Банаха любой функционал на $D$ может быть расширен до $B$. Кадисон и Зингер предположили, что для случая чистых состояний это расширение единственно. То есть задача Кадисона — Зингера заключалась в доказательстве или опровержении следующего утверждения: для любого чистого состояния $\varphi$ на $D$ существует единственное состояние на $B$, которое является расширением $\varphi$. Утверждение оказалось верным.

Гипотеза о дорожном покрытии

Проблема Кадисона — Зингера имеет положительное решение тогда и только тогда, когда верна следующая «гипотеза о дорожном покрытии» — для каждого $\varepsilon >0$ существует натуральное число $k$ такое, что справедливо следующее: для каждого $n$ и каждого линейного оператора $T$, заданного над $n$-мерным гильбертовым пространством $\mathbb {C} ^{n}$, с нулями на диагонали существует разбиение множества $\{1,\dots ,n\}$ на $k$ наборов $A_{1},\dots ,A_{k}$ такое, что:

$\|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leqslant \varepsilon \|T\|$ для любых $j=1,\ldots ,k$.

Здесь $P_{A_{j}}$ обозначает ортогональную проекцию на пространство, натянутое стандартными единичными векторами, соответствующими элементам $A_{j}$, так что матрица $P_{A_{j}}TP_{A_{j}}$получается из матрицы $T$ заменой всех строк и столбцов, которые не соответствуют индексам в $A_{j}$ на 0. Матричная норма $\|\cdot \|$ — спектральная норма, то есть норма оператора относительно евклидовой нормы $\mathbb {C} ^{n}$. В этом утверждении $k$ может зависеть не только от $\varepsilon$, но и от $n$.

Эквивалентное утверждение о несоответствии

Следующее утверждение о «несоответствии» также эквивалентно проблеме Кадисона — Зингера, как было показано в работе Ника Уивера 2004 года: если векторы $u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}$ такие, что $\sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I$ ($d\times d$ единичная матрица) и $\|u_{i}\|_{2}^{2}\leqslant \delta$ для любых $i\in 1\dots m$, то существует разбиение $\{1,\ldots ,m\}$ на два множества $S_{1}$ и $S_{2}$ таких, что:

$\left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leqslant {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}$, где $j=1,2$.

Это утверждение означает следующее: если векторы $v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}$ таковы, что $\|v_{i}\|_{2}^{2}\leqslant \alpha$ для $i\in 1\dots m$ и имеет место:

$\sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1\qquad \forall x\in \mathbb {R} ^{d}:\|x\|=1$,

то существует разбиение $\{1,\ldots ,m\}$ на два набора $S_{1}$ и $S_{2}$ таких, что для $j=1,2$ выполнено:

$\left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leqslant 5{\sqrt {\alpha }}$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{d}$ таких, что $\|x\|=1$.

Здесь «несоответствие» становится видимым, когда $\alpha$ достаточно мало: квадратичная форма на единичной сфере может быть разбита на две примерно равные части, то есть части, значения которых не сильно отличаются от 1/2 на единичной сфере. В этой форме теорему можно использовать для вывода утверждений об определённых разбиениях графов.

К этой формулировке Маркус, Спилмен и Шривастава применили технику случайных многочленов для доказательства гипотезы в 2013 году.

Ссылки

• Nicholas J. A. Harvey. An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture (англ.) (11 июля 2013).