Пусть — функция от аргумента в некотором интервале . Если в уравнении считать аргументом, а — функцией, то возникает новая функция где — функция, обратная данной.
Теорема (о дифференцировании обратной функции)
правитьДля дифференцируемой функции с производной , отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции в точке , то есть
Доказательство
Пусть — дифференцируемая функция, .
Пусть — приращение независимой переменной и — соответствующее приращение обратной функции .
Напишем тождество
Переходя в этом равенстве к пределу при , которое влечет за собой стремление к нулю ( ), получим:
- , где — производная обратной функции.
Замечание
Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид
Примеры
правитьСм. также
правитьПримечания
править- ↑ Здесь и далее нижний индекс обозначает аргумент, по которому производится дифференцирование.
Литература
править- В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0
Для улучшения этой статьи желательно:
|