Прямая Ньютона

(перенаправлено с «Прямая Гаусса»)

Прямая Ньютона — прямая, соединяющая середины диагоналей четырёхугольника.

Прямая Ньютона к четырёхугольнику

ТеоремаПравить

Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего точки пересечения этих противоположных сторон. Указанная прямая называется прямой Ньютона (на рисунке показана жирной линией).

Эквивалентная формулировка:

Если прямая, не проходящая через вершины треугольника  , пересекает его стороны   соответственно в точках  , то середины отрезков   коллинеарны.

КомментарииПравить

  • Теорему можно вывести из теоремы Менелая.
  • Во второй формулировке можно заметить, что прямые   равноправны. Они образуют конфигурацию, называемую полным четырёхсторонником. Прямая, на которой лежат середины указанных отрезков, называется прямой Ньютона четырёхсторонника.
  • В случае, если четыре прямые касаются окружности, то центр этой окружности лежит на этой же прямой Ньютона. Данное утверждение носит название теоремы Ньютона.

СвойстваПравить

  • Прямая Ньютона перпендикулярна прямой Обера.
  • На прямой Ньютона также лежит точка пересечения двух средних линий, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника (первая и вторая средние линии четырёхугольника).
  • Теорема Анна, названная в честь французского математика Пьера Леона Анна (фр. Pierre-Léon Anne, 1806—1850), утверждает, что в любом четырёхугольнике  , не являющемся параллелограммом, прямая Ньютона является геометрическим местом точек  , обладающих свойством:
     ,
где   означает ориентированную площадь  [1].
  • Замечание. Если точка   лежит внутри четырёхугольника  , то, например,   будет означать просто площадь треугольника.

ФормулаПравить

Если формулы прямых четырёхсторонника в декартовых координатах имеют вид

 

то соответствующая ему прямая Ньютона задаётся уравнением

 

где   — матрицы размера   в которых

 
 

Прямая Ньютона — ГауссаПравить

 
Прямая, получаемая соединением середин диагоналей (L, M и N), называется прямой Ньютона — Гаусса (зелёная)

Прямая Ньютона — Гаусса — это прямая, соединяющая середины трёх диагоналей полного четырёхугольника.

Середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, у которого имеется не более двух параллельны сторон, различны и поэтому определяют прямую (прямую Ньютона). Если же стороны такого четырёхугольника продолжить, чтобы получился полный четырехугольник, диагонали четырёхугольника останутся диагоналями всего четырёхугольника, а прямая Ньютона четырёхугольника называется прямой Ньютона — Гаусса полного четырёхугольника.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Сборник статей. Математическое просвещение. Третья серия. Выпуск 11. — Litres, 2015-12-02. — С. 65—66. — 177 с. — ISBN 9785457931350.

ЛитератураПравить