Открыть главное меню

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — классическая теорема аффинной геометрии.

Содержание

ФормулировкаПравить

Если точки   и   лежат соответственно на сторонах   и   треугольника   или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

 

где  ,   и   обозначают отношения направленных отрезков.

ЗамечанияПравить

  • В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
     

Вариации и обобщенияПравить

  • Тригонометрический эквивалент:
 , где все углы — ориентированные.
  • В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
 
  • В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
 

ИсторияПравить

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2]

ПримененияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
  2. G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678

СсылкиПравить