Пфа́ффово уравнение — уравнение вида , где дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия размерности . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии введены (локальные) координаты , то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

где — скалярные функции, заданные на . Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

.

Пфаффова система

править

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида  , где   — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия   размерности  . В координатах пфаффова система имеет вид

 

Рангом пфаффовой системы в точке   называется число  , равное рангу матрицы  . Обычно бывает  .

Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве   векторное подпространство размерности  , которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на   называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при   распределение является полем направлений на  , при   распределение является полем двумерных плоскостей, а при   распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат   одну (например,  ) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на  , получаем систему ОДУ первого порядка:

 

где  .

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат   к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию  .

Интегрирование пфаффовых систем

править

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей   в многообразии  , на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность   в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к   содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга   называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия   проходит интегральная поверхность   максимально возможной размерности  .

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга   с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии   приводится к каноническому виду

 

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

 

где   означает внешний дифференциал 1-формы и   означает внешнее произведение форм.

Примеры

править
  • Пфаффово уравнение   вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости   в трёхмерном пространстве. С помощью замены   это уравнение приводится к каноническому виду   Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как  
  • Пфаффово уравнение   не является вполне интегрируемым. В этом случае   и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:
 

См. также

править

Литература

править
  • Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
  • Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.