Расчётная сетка

Расчётная (вычислительная) сетка — совокупность точек (сеточных узлов), заданных в области определения некоторой функции $\left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{K}=\left\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{K}\right\}$.

Функция одной переменной Ф, заданная на структурированной сетке $\left\{x_{k}\right\}$

Функция двух переменных Ф, заданная на структурированной сетке

Расчётные сетки используются при численном решении дифференциальных и интегральных уравнений. Качество построения расчётной сетки в значительной степени определяет успех (неудачу) численного решения уравнения.

Классификация и методы построения расчётных сеток

Процедуру построения расчётной сетки можно рассматривать как построение взаимно-однозначного отображения области определения функции (физической области) на некоторую расчётную область, имеющую более простую форму.

Алгебраические методы построения сетки

Алгебраические сетки строятся путём решения алгебраических уравнений. Примером простейшей сетки, заданной на отрезке, может служить множество {xk}={x1, x2 … xK}, где xk=x1+dx*(k-1). Величина dx в этом случае называется шагом расчётной сетки. Основными достоинствами алгебраических методов являются хороший контроль распределения внутренних узлов сетки и высокая эффективность их численной реализации, что особенно важно при построении адаптивных (перестраивающихся в процессе расчёта) сеток. Недостаток алгебраических методов заключается в распространении разрывов границ внутрь области. Применение дифференциальных методов, как правило, позволяет получать более гладкие сетки.

Построение сеток методом конформных отображений

Недостаток методов построения расчётных сеток, использующих метод конформных отображений, заключается в том, что они пригодны лишь для построения двумерных сеток.

Сетки, связанные (согласованные) с границей области

Простейший способ построения расчётной сетки заключается в разбиении пространства системой поверхностей, эквидистантных базовым поверхностям стандартных координатных систем, что позволяет существенно упростить запись решаемых дифференциальных уравнений. Недостаток интерференционной концепции заключается в несвязанности сетки с формой границ области — при рассмотрении областей определения функции произвольной формы, ни одна из координатных линий не совпадает с границей, что приводит к снижению качества реализации граничных условий и (или) к чрезвычайному усложнению расчётного алгоритма и, как следствие, к увеличению затрат машинного времени. За счёт использования криволинейных сеточных линий, можно добиться совпадения границ области определения функции (физической области) и сеточных линий, что позволяет упростить запись граничных условий. Однако, вследствие преобразования координат, в уравнении, подлежащем решению, как правило, появляются дополнительные члены.

Структурированные (регулярные) сетки

Криволинейная структурированная сетка.

В тех случаях, когда множество сеточных узлов является упорядоченным расчётная сетка называется структурированной. Использование структурированных сеток (по сравнению с неструктурированными) позволяет, как правило, уменьшить продолжительность расчёта и необходимый объём оперативной памяти ЭВМ. В то же время, процедура построения криволинейной регулярной сетки, как правило, требует больших затрат труда и ресурсов ЭВМ, по сравнению с процедурой построения нерегулярной сетки.

Регулярная сетка

Неструктурированные (нерегулярные) сетки

Неструктурированная расчётная сетка, используемая в МКЭ

Неструктурированная сетка

Ортогональные и ортогонализованные сетки

Для получения решения дифференциального уравнения, имеющего требуемую точность при минимальных затратах ресурсов ЭВМ, расчётная сетка должна обладать рядом свойств. В частности, как показывает опыт многих исследователей, расчётные ячейки должны обладать малой скошенностью, то есть расчётная сетка должна быть, по возможности, ортогонализованной. Задача построения многомерной ортогонализованной расчётной сетки формулируется как задача о минимизации функционала I=int(wQ dV), где w — весовая функция, Q — мера ортогональности сетки. В качестве меры Q может быть использована сумма скалярных произведений касательных к координатным линиям сетки. Можно показать, что вариационная задача о построении ортогонализованной расчётной сетки сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений Пуассона. Как известно, система уравнений Пуассона при заданных граничных условиях описывает распределение тепла в рассматриваемом объёме, что позволяет рассчитывать на получение гладких сеточных линий, даже в тех случаях когда границы физической области имеют изломы. Принцип максимума, справедливый для эллиптических уравнений, гарантирует, что максимальные и минимальные значения расчётных координат будут достигаться на границах области. Поскольку используется система эллиптических уравнений, в качестве граничных условий должны задаваться либо координаты узлов сетки на границах (условие Дирихле) либо наклон координатных линий на границах (условие Неймана).

Адаптивные сетки

В задачах с разрывными решениями (в том числе в задачах сверхзвуковой газодинамики) расчётная область характеризуется наличием разномасштабных элементов сложной неоднородной структуры. Достаточно большие зоны имеют малые или умеренные градиенты параметров решения. Вместе с тем встречаются сравнительно узкие области, градиенты параметров решения в которых достигают больших величин. Это — ударные волны, контактные разрывы, пограничные слои. Для получения достоверного численного решения задач такого типа необходимо использовать расчётные сетки с малыми пространственными шагами. Вычислительные затраты при этом становятся столь значительными, что из-за ограничений вычислительной техники не всегда удаётся получить достаточно точное решение задач. В подобных случаях становится желательным применение динамически адаптивных сеток, позволяющих использование малых пространственных шагов сетки, где это необходимо, для соблюдения жёстких требований к численным методам, но при этом сохраняя умеренные требования к вычислительной технике. Методы динамически адаптивных сеток являются одним из наиболее эффективных подходов для повышения точности численного решения в расчётных областях с несколькими пространственными масштабами, отражающими неоднородную структуру решения. Основная идея методов динамически адаптивных сеток состоит в уменьшении размеров ячеек в тех зонах расчётной области, в которых возникают большие ошибки решения. Так как в большинстве случаев искомое решение неизвестно и невозможно определить ошибку, представляющую собой разность точного и приближённого решения в некоторой норме, то в качестве меры ошибки решения чаще всего используют градиенты или разности параметров решения. Выделяют два этапа процесса адаптации: работу критерия и собственно адаптационные процедуры.

Процедуры адаптации. В литературе отмечаются следующие основные подходы: полная регенерация сетки; локальное дробление-слияние ячеек; перемещение узлов. Полная регенерация сетки заключается в построении новой сетки с использованием информации, полученной на старой сетке, и переинтерполяцией решения. В методе перемещения узлов предполагается, что общее число расчётной сетки фиксировано. Их перераспределение также осуществляется с целью повышения густоты сетки в областях локализации особенностей решения и разрежения её там, где такие особенности отсутствуют. Метод локального дробления-слияния ячеек расчётной сетки сводится к включению в сетку дополнительных узлов в окрестностях локализации особенностей решения с одновременным удалением лишних узлов в регионах, где решение не содержит особенностей. При двух крайних методах необходимо поддерживать необходимое качество расчётной сетки.

Многоблочные сетки

Another example of a curvilinear grid.

Литература

• Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т.: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990.
• Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М. Мир, 1991, в 2-х т.
• Thompson Joe F., Warsi Z. A., Mastin C. V. Numerical Grid Generation, Foundations and Applications. — Amsterdam: North-Holland, 1985

См. также

• Конечные разности
• Разностная схема
• МКЭ
• Метод конечных разностей
• Триангуляция Делоне
• Полигональная сетка
• en:Regular grid
• Адаптивная сетка
• en:Unstructured grid