Рациональная нормальная кривая

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени n в n-мерном проективном пространстве $\mathbb {P} ^{n}.$ Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

$\nu :\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{n}$

которое переводит точку с однородными координатами $[s:t]$ в точку

$[s^{n}:s^{n-1}t:s^{n-2}t^{2}:\ldots :t^{n}].$

В аффинной карте $x_{0}=1$ это отображение записывается более простым образом:

$\nu :x\mapsto (x,x^{2},\ldots ,x^{n}).$

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой $(x,x^{2},\dots ,x^{n})$ при помощи единственной бесконечно удалённой точки.

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

$F_{i,j}(x_{0},\ldots ,x_{n})=x_{i}x_{j}-x_{i+1}x_{j-1},$

где $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ — однородные координаты на $\mathbb {P} ^{n}$. Рассматривать все эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, $F_{i,i}$ и $F_{1,n-1}.$

Альтернативная параметризация

Пусть $[a_{i}:b_{i}]$ — $n+1$ различных точек на $\mathbb {P} ^{1}.$ Тогда многочлен

$G(s,t)=\Pi _{i=0}^{n}(a_{i}s-b_{i}t)$

является однородным многочленом степени $n+1$ с различными корнями. Многочлены

$H_{i}(s,t)={\frac {G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)}}$

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

$[s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]$

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы $s^{n},s^{n-1}t,s^{n-2}t^{2},\ldots ,t^{n}$ являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена $G(s,t)$ в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена $G.$

Свойства

• Любые $n+1$ точки на рациональной нормальной кривой в $\mathbb {P} ^{n}$ линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
• Для любых $n+3$ точек в $\mathbb {P} ^{n},$ таких что любые $n+1$ из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести $n+1$ из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в $[c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],$ в качестве многочлена $G$ выбрать многочлен, зануляющийся в точках $[a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{-1}:d_{i}^{-1}].$
• Рациональная нормальная кривая в случае $n>2$ не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.

Литература

• Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.