Трёхгранник Френе

Базис, репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.

Репер Френе и соприкасающаяся плоскость кривой.

Трёхгранник Френе, движущийся по винтовой линии на торе

Определение

Пусть $r(s)$ — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов $\tau$, $\nu$, $\beta$, сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой $r(s)$, где

• $\tau ={\dot {r}}(s)$ — единичный касательный вектор,
• $\nu ={\frac {{\ddot {r}}(s)}{||{\ddot {r}}(s)||}}$ — единичный вектор главной нормали,
• $\beta =[\tau ,\nu ]$ — единичный вектор бинормали к кривой в данной точке.

Свойства

• Если $s$ — естественный параметр $s$ кривой, то векторы ${\tau },{\nu },{\beta }$ связаны соотношениями:

  ${\begin{aligned}{\dot {\tau }}&=k\cdot {\nu },\\{\dot {\nu }}&=-k\cdot {\tau }+t\cdot {\beta },\\{\dot {\beta }}&=-t\cdot {\nu },\end{aligned}}$

называемыми формулами Френе. Величины

$k=||{\ddot {r}}(s)||,\quad t=-\langle {\dot {\beta }},\;{\nu }\rangle$

называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.

• Функции $k(s)$ и $t(s),$ определяют кривую с точностью до движения пространства.
  • Более того в случае если $k(s)>0$, такая кривая существует.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника

Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору ${v}=v{\tau }$. Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения: ${a}={\dot {v}}{\tau }+v^{2}k{\nu }$. Компоненту при векторе ${\tau }$ называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе ${\nu }$ называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется направление движения точки.

Вариации и обобщения

При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.

Пусть $\gamma (s)$ — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей ${\nu _{o}}$, таких что двойка $({\tau },{\nu _{o}})$ образуют правый базис в каждой точке $\mathbf {\gamma } (s)$. Ориентированной кривизной кривой $\gamma$ в точке $s$ называют число $k_{o}=\langle {\ddot {\gamma }}(s),\;{\nu _{o}}\rangle$. В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны

${\dot {\tau }}=k_{o}{\nu _{o}}\quad {\dot {\nu _{o}}}=-k_{o}{\tau }$.

По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида $k_{o}=f(s)$ называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.

См. также

• Трёхгранник Дарбу — аналогичная конструкция для кривой на поверхности.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.