Ретракция Шарафутдинова

Ретракция Шарафутдинова — конструкция, позволяющая построить ретракцию риманова многообразия по выпуклой функции на нём.

Впервые использована в 1979 году Шарафутдиновым в доказательстве того, что любые две души в многообразии с неотрицательной секционной кривизной изометричны.

Конструкция

Пусть $M$ — связное риманово многообразие, $f:M\to \mathbb {R}$ — выпуклая функция и $s=\max\{\,f(x)\mid x\in M\,\}$. Для $t\leq s$ обозначим через $M_{t}$ множество $\{\,x\in M\mid f(x)\leq t\}$. Ретракция Шарафутдинова — это семейство отображений $\Phi _{t}:M\to M_{t}$, которое является тождественным на $M_{t}$ такое, что если $f(x)<t$ то $\Phi _{t}(x)$ лежит на градиентной кривой из $x$ функции $f$ и при этом $f(\Phi _{t}(x))=t$.

Свойства

• Отображения $\Phi _{t}:M\to M_{t}$ являются короткими.
• Если $t\geq \tau$ то $\Phi _{t}\circ \Phi _{\tau }=\Phi _{t}$.