Несчётное множество

Несчётное мно́жество — бесконечное множество, не являющееся счётным.

Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества $X$:

• не существует инъективного отображения $X$ во множество натуральных чисел $\mathbb {N}$;
• $X$ не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов $X$ существует по крайней мере один элемент $X$, не входящий в неё;
  • иными словами: $X$ непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел $\mathbb {N}$ на $X$;
• мощность $X$ не является ни конечной, ни равной $\aleph _{0}$.

Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:

• мощность $X$ строго превышает $\aleph _{0}$

— требует привлечения аксиомы выбора.

Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.

Литература

• М. И. Войцеховский. Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.