Соотношение Бретшнайдера

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов.

Формулировка

Четырехугольник

Между сторонами a, b, c, d, углами $\alpha ,\gamma ,$ противоположными друг другу, и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

$e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).$

Замечание

• Эквивалентные формулировки:

  $e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}},$

  $e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}.$

Доказательство

Доказательство

Вне четырёхугольника построим внешним образом $\triangle ABF$ подобный $\triangle CAD$ и $\triangle ADE$ подобный $\triangle CAB$, чтобы

$\angle CAD=\angle FBA$,

$\angle ACD=\angle FAB$,

$\angle BAC=\angle ADE$,

$\angle BCA=\angle DAE$.

Из свойства подобных треугольников имеем: ${\frac {AF}{a}}={\frac {c}{e}}$; ${\frac {BF}{a}}={\frac {d}{e}}$; ${\frac {AE}{d}}={\frac {b}{e}}$; ${\frac {DE}{d}}={\frac {a}{e}}$. Отсюда $AF={\frac {ac}{e}}$; $AE={\frac {bd}{e}}$; $BF=DE={\frac {ad}{e}}$. Сумма углов $\angle B$ и $\angle D$ в четырёхугольнике $FBDE$ равна сумме углов $\triangle BAD$, то есть равна $180^{\circ }$. Отсюда $FB\parallel DE$. Также $FB=DE$, то есть $FBDE$ — параллелограмм. Отсюда $f=BD=FE$. В $\triangle AEF$ угол $\angle EAF=\angle A+\angle C$ по построению. По теореме косинусов: $f^{2}=\left({\frac {ac}{e}}\right)^{2}+\left({\frac {bd}{e}}\right)^{2}-{\frac {2abcd}{e^{2}}}\cos(\angle A+\angle C)$. Умножением на $e^{2}$ получаем требуемое:$(ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)$, ч. т. д.

Следствия

• Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта.
• Если четырёхугольник вырождается в треугольник и одна вершина попадает на середину стороны, то с учётом равенства основного угла и дополнительного также получается Теорема Аполлония.
• Если четырёхугольник вписан в окружность, то ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}$. Тогда из предпоследней формулы выше следует первая теорема Птолемея: $ef=ac+bd$.
• Если D — центр описанной окружности треугольника ABC, то DA = DB = DC. Используя теорему об углах вписанных в окружность, получим теорему косинусов для треугольника ABC.

См. также

• Теорема Птолемея
• Четырёхугольник
• Формула Брахмагупты

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 85—86. — ISBN 5-94057-170-0.