Неравенство Птолемея

(перенаправлено с «Теорема Птолемея»)

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Если 4 точки не лежат на одной окружности, то все три неравенства Птолемея строгие.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка

править

Для любых точек   плоскости выполнено неравенство

 

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда   — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки   лежат на одной прямой.

Случай равенства также называется тождеством Птолемея.


О других доказательствах

править
  • Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке  ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек  ,  ,  .[1]
  • Существует способ доказательства через прямую Симсона.
  • Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку   такую, что  , а потом через подобие треугольников.
  • Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

править
  • Теорема Помпею.[2] Рассмотрим точку   и правильный треугольник  . Тогда из отрезков  ,   и   можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка   лежит на описанной окружности треугольника  .
  • Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения

править
  • Соотношение Бретшнайдера
  • Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если   произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)[3]), то
 
Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси
 
 
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда   — вписанный шестиугольник.
  • Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности   и  , касающиеся данной окружности в вершинах   и   выпуклого четырёхугольника  . Пусть   — длина общей касательной к окружностям   и   (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);   и т. д. определяются аналогично. Тогда
 .
 
Циклический граф, в котором все расстояния удовлетворяют неравенству Птолемея, называют графом Птолемея

См. также

править

Примечания

править
  1. Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии Архивная копия от 26 мая 2009 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  2. О теореме Д. Помпейю Архивная копия от 17 декабря 2004 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  3. Теорема Птолемея. Дата обращения: 17 мая 2011. Архивировано 26 мая 2009 года.
  4. Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs (Характеризация графов Птолемея)", Journal of Graph Theory, 5 (3): 323—331, doi:10.1002/jgt.3190050314, MR 0625074.

Литература

править