Спектральная последовательность Гротендика

Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов по производным функторам F и G.

Если и — аддитивные точные слева функторы между абелевыми категориями, такие, что переводит инъективные объекты в -ацикличные (то есть те, на которых зануляются функторы при ) и если в достаточно много инъективных объектов, то для каждого объекта категории , имеющего инъективную резольвенту, существует точная последовательность:

Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются частными случаями спектральной последовательности Гротендика, например, спектральная последовательность Лере[англ.].

Примеры

править

Спектральная последовательность Лере

править

Если   и   — топологические пространства, пусть

  и   — категории пучков абелевых групп на X и Y, соответственно и
  — категория абелевых групп.

Для непрерывного отображения

 

существует (точный слева) функтор прямого образа

 .

Мы также имеем функторы глобальных сечений

 ,

и

 

Тогда так как

 

и функторы   и   удовлетворяют предположениям теоремы (так как функтор прямого образа имеет точный левый сопряжённый  , прямые образы инъективных пучков инъективны и, в частности, ацикличны для функтора глобальных сечений), спектральная последовательность принимает вид:

 

для пучка абелевых групп   на  , и это в точности спектральная последовательность Лере.

Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext-ов

править

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучковый Ext: пусть F, G — пучки модулей над окольцованным пространством  ; например, схемой. Тогда

 [1]

Это частный случай спектральной последоватеьлности Гротендика: действительно,

 ,   и  .

Более того,   переводит инъективные  -модули в вялые пучки,[2] которые  -ацикличны. Следовательно, предположения удовлетворяются.

Примечания

править
  1. Годеман, 1961, Глава II, Теорема 7.3.3.
  2. Годеман, 1961, Глава II, Лемма 7.3.2.

Литература

править
  • Р. Годеман. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИН, 1961.
  • Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal. Second Series, 9: 119—221, ISSN 0040-8735, MR 0102537
  • Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4.