Спектральная последовательность Гротендика

Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов $G\circ F$ по производным функторам F и G.

Если $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ и $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ — аддитивные точные слева функторы между абелевыми категориями, такие, что $F$ переводит инъективные объекты в $G$-ацикличные (то есть те, на которых зануляются функторы $R^{p}G$ при $p>0$) и если в ${\mathcal {B}}$ достаточно много инъективных объектов, то для каждого объекта $A$ категории ${\mathcal {A}}$, имеющего инъективную резольвенту, существует точная последовательность:

$E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A).$

Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются частными случаями спектральной последовательности Гротендика, например, спектральная последовательность Лере.

Примеры

Спектральная последовательность Лере

Если $X$ и $Y$ — топологические пространства, пусть

${\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)$ и ${\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)$ — категории пучков абелевых групп на X и Y, соответственно и

${\mathcal {C}}=\mathbf {Ab}$ — категория абелевых групп.

Для непрерывного отображения

$f:X\to Y$

существует (точный слева) функтор прямого образа

$f_{*}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)$.

Мы также имеем функторы глобальных сечений

$\Gamma _{X}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab}$,

и

$\Gamma _{Y}:\mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .$

Тогда так как

$\Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}$

и функторы $f_{*}$ и $\Gamma _{Y}$ удовлетворяют предположениям теоремы (так как функтор прямого образа имеет точный левый сопряжённый $f^{-1}$, прямые образы инъективных пучков инъективны и, в частности, ацикличны для функтора глобальных сечений), спектральная последовательность принимает вид:

$H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})$

для пучка абелевых групп ${\mathcal {F}}$ на $X$, и это в точности спектральная последовательность Лере.

Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext-ов

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучковый Ext: пусть F, G — пучки модулей над окольцованным пространством $(X,{\mathcal {O}})$; например, схемой. Тогда

$E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).$

Это частный случай спектральной последоватеьлности Гротендика: действительно,

$R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)$, $R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)$ и $R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)$.

Более того, ${\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)$ переводит инъективные ${\mathcal {O}}$-модули в вялые пучки, которые $\Gamma (X,-)$-ацикличны. Следовательно, предположения удовлетворяются.

Литература

• Р. Годеман. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИН, 1961.
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal. Second Series, 9: 119—221, ISSN 0040-8735, MR 0102537
• Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4.