Суммы Вейля

Суммы Вейля — общее название тригонометрических сумм специального вида.

Определение

править

Суммами Вейля называются суммы вида

 ,

где  , а функция

 

есть многочлен степени   с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля

править

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена   — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю  ) называются суммы Вейля с функцией  :

 ,

где   — некоторое фиксированное целое число,  , а

 

есть многочлен степени   с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля

править
  • Если  , то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
  • Если   — простое число, то суммы Вейля с многочленом     называются суммами Гаусса порядка  , а при   — суммами Гаусса.
  • Если   — простое число, то для каждого  , не кратного  , в поле вычетов   всегда существует число  , обратное к  :
 , и при этом  .
Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом   могут быть записаны в виде
 ,
(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем  , не кратным  ) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля

править

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

См. также

править

Литература

править
  • Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
  • И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.