Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка $(0;1)$.

Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.

Определения

Пусть $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала $(0;1)$

Для чисел $a,b\in (0;1),\ a<b$ обозначим через $\varphi _{n}(a,b)=\#\left\lbrace {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace$ количество чисел из $\xi _{1},\dots ,\xi _{n}$, лежащих в отрезке $(a;b)$.

Определим предельное наибольшее отклонение как $D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left({{\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n}}-(b-a)}\right)}$.

Последовательность $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ называется равномерно распределённой в $(0;1)$ если $D_{\xi }=0$. Иными словами, последовательность равномерно распределённа в $(0;1)$ если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в $(0;1)$.

Формулировка теоремы

Последовательность $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ равномерно распределена в $(0;1)$ тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке $(0;1)$ функции $f$ выполняется тождество: $\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}$

Доказательство

Очевидно, что утверждение о равномерной распределённости эквивалентно выполнению тождества для кусочно-постоянных функций вида $f(x)=\left\lbrace {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{matrix}}\right.$. Это сразу обеспечивает следствие равномерности из выполнения тождества для всех функций.

Более того, в случае равномерной распределённости последовательности, с помощью композиции таких функций и соответствующих умножений (на константу) и сложений пределов и интегралов можно доказать выполнение тождества для любой кусочно-постоянной функции.

Так как любая интегрируемая по Риману функция $f$ может быть с точностью до величины интеграла $\varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx}$ аппроксимирована кусочно-постоянной функцией $f_{1}$ (причём такой, что $\forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon$) для $\varepsilon >0$, то

${\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon$

$\exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon$

Так как по определению $f_{1}$ следует ${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}{\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k}))}}{\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k})}|<\varepsilon$, то для достаточно больших $n$ будет выполнено

${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon$,

Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое $\varepsilon >0$, то это и означает, что

$\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}$

Следствия

Критерий с тригонометрическими суммами

Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.

Последовательность $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ равномерно распределена в $(0;1)$ тогда и только тогда, когда для любого целого $m\not =0$ выполнено $\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0$

Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.

Константа $0$ в формуле фактически является значением интеграла $\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0$.

Дробные части от кратных иррациональным

Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:

Обозначим через $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ дробную часть числа $x$ Если $\xi \in {\mathbb {R} }$ — иррациональное число, то последовательность $\left\lbrace {\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {2\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {3\xi }\right\rbrace ,\dots ,\left\lbrace {n\xi }\right\rbrace ,\dots$ равномерно распределена в $(0;1)$.

Доказательство

Для доказательства через критерий равномерности в тригонометрической форме достаточно оценить модуль тригонометрической суммы при иррациональном $\xi _{k}=k\xi$ и целом $m\not =0$. Для этого можно воспользоваться простейшей формулой суммы геометрической прогрессии.

${\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi }}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}$

Так как величина $\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert$ не зависит от $n$, то при каждом отдельном фиксированном $m\not =0$ из неравенства выше следует

$\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0$

Литература

• Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М.: Наука, 1985. — 408 с.
• Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.