Теорема Буземана о центральных сечениях
Теорема Буземана о центральных сечениях — теорема выпуклой геометрии о свойствах площадей центральных сечений симметричного выпуклого тела.
Теорема была доказана Буземаном в 1949 году, она имеет приложения в финслеровой геометрии.
Формулировка
правитьПредположим, — выпуклое симметричное тело в -мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Рассмотрим тело сечений , то есть тело , ограниченное гиперповерхностью, которая образована всеми векторами вида
где — единичный вектор, — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная , а — площадь, точнее -мерный объём.
Тогда тело выпукло.
Следствия
править- В -мерном нормированном пространстве, область гиперплоскости минимизирует -мерную меру Хаусдорфа среди поверхностей с тем же краем.
Ссылки
править- Busemann, Herbert. A theorem on convex bodies of the Brunn-Minkowski type (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1949. — Vol. 35. — P. 27—31. — doi:10.1073/pnas.35.1.27. — PMID 16588849. — PMC 1062952.
- Gardner, Richard J. The Brunn-Minkowski inequality (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) : journal. — 2002. — Vol. 39, no. 3. — P. 355—405 (electronic). — doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.