Теорема Буземана о центральных сечениях

Теорема Буземана о центральных сечениях — теорема выпуклой геометрии о свойствах площадей центральных сечений симметричного выпуклого тела.

Теорема была доказана Буземаном в 1949 году, она имеет приложения в финслеровой геометрии.

Формулировка

Предположим, $K$ — выпуклое симметричное тело в $d$-мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Рассмотрим тело сечений $K$, то есть тело $L$, ограниченное гиперповерхностью, которая образована всеми векторами вида

$\mathop {S} (K\cap u^{\perp })\cdot u,$

где $u$ — единичный вектор, $u^{\perp }$ — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная $u$, а $\mathop {S}$ — площадь, точнее $(d-1)$-мерный объём.

Тогда тело $L$ выпукло.

Следствия

• В $d$-мерном нормированном пространстве, область гиперплоскости минимизирует $(d-1)$-мерную меру Хаусдорфа среди поверхностей с тем же краем.

Ссылки

• Busemann, Herbert. A theorem on convex bodies of the Brunn-Minkowski type (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1949. — Vol. 35. — P. 27—31. — doi:10.1073/pnas.35.1.27. — PMID 16588849. — PMC 1062952.
• Gardner, Richard J. The Brunn-Minkowski inequality (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) : journal. — 2002. — Vol. 39, no. 3. — P. 355—405 (electronic). — doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.