Теорема о равномерной непрерывности

Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства $(X,\rho _{X})$ и $(Y,\rho _{Y}).$ Пусть также дано компактное подмножество $A\subset X$ и определённая на нём непрерывная функция $f\colon A\to Y.$ Тогда $f$ равномерно непрерывна на $A.$

Замечания

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ равномерно непрерывна на нём.

• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

  $f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

Доказательство

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть $f(x)$ — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте $A$), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое $\varepsilon$, что для всех $\delta >0$ существуют такие $x$ и $y$, расстояние между которыми меньше $\delta$, но расстояние между их образами не менее $\varepsilon$:

$\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{\delta },y_{\delta }\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,$ но $d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .$

Возьмём последовательность $\{\delta _{k}\}$, сходящуюся к 0, например, $\left\{{\frac {1}{k}}\right\}$. Построим последовательности $x_{k}$ и $y_{k}$ так, чтобы

$d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k}}$, но $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$

$A$ — компакт, поэтому можно выделить сходящуюся подпоследовательность:

$x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A.$

Но так как расстояние между членами обеих последовательностей стремится к нулю, то, воспользовавшись неравенством треугольника, получаем, что соответствующие подпоследовательности стремятся к одной точке: ${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$. И, так как $f$ непрерывна $f(x_{k_{j}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{k_{j}})\to f(\zeta )\Rightarrow d(f(x_{k_{j}}),f(y_{k_{j}}))\to 0$, что противоречит предположению, что $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$.

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

История

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне. Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале. В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.