Теорема Прохорова

Теорема Прохорова связывает равномерную плотность мер с относительной компактностью (и, следовательно, слабой сходимостью) в пространстве вероятностных мер. Названа в честь Юрия Васильевича Прохорова, который рассматривал вероятностные меры на полных сепарабельных метрических пространствах. Термин теорема Прохорова также применим к вариациям и обобщениям этой теоремы.

Формулировка

Пусть $S$ — сепарабельное метрическое пространство. Обозначим через ${\mathcal {P}}(S)$ пространство всех вероятностных мер, определенных на борелевской сигма-алгебре $S$. Тогда

1. Множество $K\subset {\mathcal {P}}(S)$ вероятностных мер равномерно плотно тогда и только тогда, когда замыкание $K$ секвенциально компактно в пространстве, ${\mathcal {P}}(S)$ оснащенном топологией слабой сходимости.
2. Пространство ${\mathcal {P}}(S)$ с топологией слабой сходимости метризуемо.
3. Предположим дополнительно, что $(S,\rho )$ полное (иначе говоря, $S$ — польское пространство). Тогда существует полная метрика $d$ на ${\mathcal {P}}(S)$, задающая топологию слабой сходимости. Более того, подмножество $K\subset S$ равномерно плотно тогда и только тогда, когда замыкание $K$ в $({\mathcal {P}}(S),d)$ компактно.