Равномерная плотность — свойство семейства мер; формализует то, что семейство не убегает на бесконечность.

Определение

править

Пусть  Хаусдорфово пространство, и пусть  сигма-алгебра на  , включающая открытые (а значит и борелевские) множества. Пусть   — семейство мер, определенных на  . Семейство   называется равномерно плотным, если для любого   существует компактное подмножество   в  , такое, что для всех мер   выполняется неравенство

 

здесь   — это вариация меры  .

Замечания

править
  • Часто предполагается, что меры вероятностные; в этом случае ключевое неравенство можно переписать как
     
  • Если равномерно плотное семейство   состоит из одной меры  , то сама мера   называется плотной.
  • Если   — это  -значная случайная величина, у которой распространение является плотной мерой на  , то говорят, что   радонова случайная величина.

Примеры

править
  • Любое семейство мер на компактном метризуемом пространстве равномерно плотна.
    • Это не обязательно верно для неметризуемых пространств.
  • Если   — польское пространство, то любая вероятностная мера плотна.
    • Согласно теореме Прохорова, семейство вероятностых мер на   равномерно плотно, тогда и только тогда, когда это оно предкомпактно в топологии слабой сходимости.

Литература

править
  • Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.