Теорема Титце о выпуклом множестве

Теорема Титце о выпуклом множестве даёт условие достаточное для выпуклости множества евклидова пространства.

Названа в честь Генриха Титце.

Формулировка

Любое связное замкнутое локально выпуклое множество является выпуклым.

Замечания

• Подножество $M$ евклидова пространства пространства называется локально выпуклым, если любая точка $m\in M$ допускает окрестность $O\ni m$ такую, что пересечение $O\cap M$ выпукло.

Вариации и обобщения

• Теорема верна также в пространствах Адамара (то есть в полных CAT(0) пространствах с внутренней метрикой).

Литература

• H. Tietze. Über Konvexheit im kleinen und im grossen und über gewisse den Punkten einer Menge zugeordnete Dimensionzahlen (нем.) // Math. Z.. — 1928. — Bd. 28. — S. 697-707.
• F.A.Valentine. Convex sets (англ.). — P. 51-53.