Теорема Ферма о многоугольных числах
Теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что любое натуральное число представимо как сумма не более -угольных чисел.
Примеры
правитьПримеры разбиения натуральных чисел от 1 до 30 в соответствии с теоремой Ферма[1]:
| Число | Сумма не более трёх треугольных чисел |
Сумма не более четырёх квадратных чисел |
Сумма не более пяти пятиугольных чисел |
|
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 1 + 1 | 1 + 1 | 1 + 1 | |
| 3 | 3 | 1 + 1 + 1 | 1 + 1 + 1 | |
| 4 | 3 + 1 | 1 + 1 + 1 + 1 | ||
| 5 | 3 + 1 + 1 | 5 | ||
| 6 | 6 | 5 + 1 | ||
| 7 | 6 + 1 | 5 + 1 + 1 | ||
| 8 | 6 + 1 + 1 | 5 + 1 + 1 + 1 | ||
| 9 | 6 + 3 | 5 + 1 + 1 + 1 + 1 | ||
| 10 | 10 | 5 + 5 | ||
| 11 | 10 + 1 | 5 + 5 + 1 | ||
| 12 | 6 + 6 | 12 | ||
| 13 | 10 + 3 | 12 + 1 | ||
| 14 | 10 + 3 + 1 | 12 + 1 + 1 | ||
| 15 | 15 | 5 + 5 + 5 | ||
| 16 | 15 + 1 | 5 + 5 + 5 + 1 | ||
| 17 | 10 + 6 + 1 | 12 + 5 | ||
| 18 | 15 + 3 | 12 + 5 + 1 | ||
| 19 | 10 + 6 + 3 | 12 + 5 + 1 + 1 | ||
| 20 | 10 + 10 | 5 + 5 + 5 + 5 | ||
| 21 | 21 | 5 + 5 + 5 + 5 + 1 | ||
| 22 | 21 + 1 | 22 | ||
| 23 | 10 + 10 + 3 | 22 + 1 | ||
| 24 | 21 + 3 | 12 + 12 | ||
| 25 | 15 + 10 | 12 + 12 + 1 | ||
| 26 | 15 + 10 + 1 | 12 + 12 + 1 + 1 | ||
| 27 | 21 + 6 | 22 + 5 | ||
| 28 | 28 | 22 + 5 + 1 | ||
| 29 | 28 + 1 | 12 + 12 + 5 | ||
| 30 | 15 + 15 | 12 + 12 + 5 + 1 |
История
правитьТеорема названа именем Пьера Ферма, который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась[2]. В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел[2]. Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике: «Эврика!»[3] и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования. Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика»[4] Полностью теорему доказал Коши в 1813 году.[2] .Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах[5].
Частные случаи
правитьНаиболее интересны квадратный и треугольный случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для . А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.
Примечания
править- ↑ Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 146. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
- ↑ 1 2 3 Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria;история греческой алгебры, Cambridge University Press, p. 188
- ↑ Bell, Eric Temple (1956), "Gauss, the Prince of Mathematicians", in Newman, James R. (ed.), The World of Mathematics, vol. I, Simon & Schuster, pp. 295—339. Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
- ↑ Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), "On the representation of integers as sums of triangular numbers", Aequationes Mathematicae, 50 (1—2): 73—94, doi:10.1007/BF01831114, MR 1336863.
- ↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), "A short proof of Cauchy's polygonal number theorem", Proceedings of the American Mathematical Society, 99 (1): 22—24, doi:10.2307/2046263, MR 0866422
Ссылки
править- Weisstein, Eric W. Fermat's Polygonal Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin: Springer, ISBN 978-0-387-94656-6. Содержит доказательство теоремы Лагранжа и теоремы о многоугольных числах.