Теорема Шпильрайна

Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

ФормулировкаПравить

Любое отношение частичного порядка  , заданное на некотором множестве  , может быть продолжено до отношения линейного порядка.

ДоказательствоПравить

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).

Обобщения и усиленияПравить

Теорема Душника — МиллераПравить

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Случай группПравить

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок   группы   тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы  , когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов   в   ( ) можно так подобрать знаки   (  или  ), что

 

Здесь

  — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами  ,
  — положительный конус отношения  .

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка.

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок   группы   тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из   следует, что для каждого конечного множества элементов   в   ( ) существуют такие подходящие знаки   (  или  ), что

 

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда   изолирован, то есть из   для некоторого натурального числа   следует  .

Случай векторных пространствПравить

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

СсылкиПравить

См. такжеПравить