Теорема о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности.

Доказательство

Рассмотрим прямые $L_{1}$ и $L_{2}$, заданные как линии пересечения плоскостей:

$L_{1}:\quad \alpha \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\beta \left(1-{y \over b}\right);\;\beta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\alpha \left(1+{y \over b}\right);\;\alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0$

$L_{2}:\quad \gamma \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\delta \left(1+{y \over b}\right);\;\delta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\gamma \left(1-{y \over b}\right);\;\gamma ^{2}+\delta ^{2}\neq 0$

Прямые $L_{1}$ и $L_{2}$ целиком лежат на поверхности (чтобы убедиться в этом, достаточно почленно перемножить уравнения плоскостей). При этом через каждую точку $M_{0}(X_{0},Y_{0},Z_{0})$ поверхности проходит единственная прямая из семейства $L_{1}$ и единственная прямая из семейства $L_{2}$. Эти прямые (то есть пары чисел $\alpha ,\beta$ и $\gamma ,\delta$) находятся из однородных систем линейных алгебраических уравнений:

$\alpha ,\beta :\quad \alpha \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\beta \left(1-{Y_{0} \over b}\right);\;\beta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\alpha \left(1+{Y_{0} \over b}\right)$

$\gamma ,\delta :\quad \gamma \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\delta \left(1+{Y_{0} \over b}\right);\;\delta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\gamma \left(1-{Y_{0} \over b}\right)$

матрицы которых вырождены (то есть системы имеют нетривиальные решения) и имеют ранг, равный 1 (то есть все решения каждой из систем пропорциональны и определяют единственную прямую). Остается добавить, что прямые не совпадают (достаточно проверить неколлинеарность их направляющих векторов).

См. также

• Гиперболоид