Теорема о рациональных корнях

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 22 ноября 2021 года; проверки требуют 8 правок.

В алгебре теоре́ма о рациона́льных корня́х (также тест на рациона́льные ко́рни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:

с целыми коэффициентами и .

Теорема утверждает, что каждый рациональный корень , где и  — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что

  • является делителем свободного члена ,
  • является делителем старшего коэффициента .

Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.

Применение

править

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень   найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на   с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

править

Кубическое уравнение в общем виде:

 

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.

Доказательство

править

Пусть:

 .

Предположим, что   для некоторых взаимно простых целых   и  :

 .

Умножая обе части уравнения на  , вынося   за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:

 .

Видно, что   является делителем  . Но   и   — взаимно простые числа, значит,   также должно быть делителем  .

Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести   за скобки, получим:

 .

Сделаем вывод о делимости   на  [1].

Примеры

править

Пример 1

править

Каждый рациональный корень многочлена

 

должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются   и  . Однако ни один из них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.

Пример 2

править

Каждый рациональный корень многочлена

 

должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются  . Из них  ,   и   обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.

Примечания

править
  1. Arnold, Denise. 4 unit mathematics. — Melbourne: Edward Arnold, 1993. — 306 pages с. — ISBN 0340543353, 9780340543351.

Литература

править
  • Miller C. D., Lial M. L., Schneider D. I. Fundamentals of college algebra (англ.). — 3rd edition. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — P. 216–221. — ISBN 0-673-38638-4.
  • Jones P. S., Bedient J. D. The historical roots of elementary mathematics (англ.). — Dover Courier Publications, 1998. — P. 116–117. — ISBN 0-486-25563-8.
  • Larson R. Calculus: an applied approach (англ.). — Cengage Learning, 2007. — P. 23–24. — ISBN 978-0-618-95825-2.