Тест Ва́льда — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом множителей Лагранжа. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объём выборки.

Сущность и процедура теста

править

Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров  . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу  , где   — совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста заключается в том, что если нулевая гипотеза верна, то и выборочный вектор   должен быть в некотором смысле близок к нулю. Предполагается, что оценки параметров хотя бы состоятельны и асимптотически нормальны (таковы, например, оценки метода максимального правдоподобия), то есть

 

Отсюда, исходя из предельных теорем имеем:

 

где   — якобиан (матрица первых производных) вектора   в точке  .

Тогда

 

Если выполнена нулевая гипотеза ( ), то имеем

 

Это и есть статистика Вальда. Поскольку ковариационная матрица  , вообще говоря, на практике неизвестна, то вместо неё используется некоторая её оценка. Также вместо неизвестных истинных значений коэффициентов   используют их оценки  . Следовательно на практике мы получаем приблизительное значение  , поэтому тест Вальда асимптотический, то есть для правильных выводов нужна большая выборка.

Если эта статистика больше критического значения   при данном уровне значимости  , то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу модели без ограничений («длинная модель»). В противном случае ограничения могут иметь место, и лучше построить модель с ограничениями, называемую «короткой моделью».

Необходимо отметить, что тест Вальда чувствителен к способу формулировки нелинейных ограничений. Например, простое ограничение равенства двух коэффициентов можно сформулировать как равенство их отношения единице. Тогда результаты теста теоретически могут быть разными, несмотря на то, что гипотеза одна и та же.

Частные случаи

править

Если функции   линейны, то есть проверяется гипотеза следующего вида  , где   — некоторая матрица ограничений,   — некоторый вектор, то матрица   в данном случае - это фиксированная матрица  . Если речь идёт о классической линейной модели регрессии, то ковариационная матрица оценок коэффициентов равна  . Поскольку дисперсия ошибок   неизвестна, то используют либо её состоятельную оценку  , либо несмещённую оценку  . Следовательно, статистика Вальда тогда имеет вид:

 

В частном случае, когда матрица ограничений единичная (то есть проверяются равенства коэффициентов некоторым значениям), то формула упрощается:

 

Если рассматривается только одно линейное ограничение  , то статистика Вальда будет равна

 

В данном случае статистика Вальда оказывается равной квадрату  -статистики.

Можно показать, что статистика Вальда для классической линейной модели выражается через суммы квадратов остатков длинной и короткой моделей следующим образом

 ,

где индекс   относится к длинной модели (long), а   — к короткой (short). Если используется несмещённая оценка дисперсии ошибок, то в формуле вместо   необходимо использовать  .

В частности, для проверки значимости регрессии в целом  , поэтому получаем следующую формулу для статистики Вальда

 

где  коэффициент детерминации.

Взаимосвязь с другими тестами

править

Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM) — асимптотически эквивалентные тесты ( ). Тем не менее для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство  . Тем самым тест Вальда будет чаще других тестов отвергать нулевую гипотезу об ограничениях. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая — вообще говоря, нет.

Вместо теста Вальда можно использовать F-тест, статистика которого рассчитывается по формуле:

 

или ещё проще  , если при расчёте статистики Вальда использовалась несмещённая оценка дисперсии. Эта статистика имеет в общем случае асимптотическое распределение Фишера  . В случае нормального распределения данных — то и на конечных выборках.

Литература

править
  • Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
  • William H. Greene. Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.