Трёхгранный угол

(перенаправлено с «Трехгранный угол»)
Рис. 1. Трёхгранный угол.

Трёхгранный угол — это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченный третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения). Если поместить вершину трёхгранного угла в центр сферы, на её поверхности образуется ограниченный им сферический треугольник, стороны которого равны плоским углам трёхгранного угла, а углы — его двугранным углам.

Неравенство треугольника для трёхгранного углаПравить

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.[1]

Сумма плоских углов трёхгранного углаПравить

Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.

 
Рис. 2. Трёхгранный угол.

Теорема косинусов для трёхгранного углаПравить

Пусть дан трёхгранный угол (см. Рис. 2), α, β, γ — его плоские углы, A, B, C — двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

Первая теорема косинусов для трёхгранного угла:

 

Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла:

 

Теорема синусов для трёхгранного углаПравить

 , где α, β, γ — плоские углы трёхгранного угла; A, B, C — противолежащие им двугранные углы (см. Рис. 2).

См. такжеПравить

  1. Геометрия по Киселёву, §324.