Уравнение Кадомцева — Петвиашвили

В математике и физике, уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:

Пересекающиеся волны, состоящие из почти кноидальных волновых шлейфов. Фотография сделана с маяка Бален в западной точке острова Ре, Франция, в Атлантическом океане. Взаимодействие таких около-солитонов на мелководье может быть смоделировано с помощью уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

$\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0$

где $\lambda =\pm 1$. Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.

Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо. Оно также может быть решено с помощью обратного преобразования рассеяния, как и нелинейное уравнение Шрёдингера.

История

Борис Борисович Кадомцев

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.

Связь с физикой

Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется $\lambda =+1$; если же поверхностное натяжение сильное, то $\lambda =-1$. Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).

Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах, а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.

Ограниченность

Для $\epsilon \ll 1$, типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны $O(1/\epsilon )$, что даёт сингулярный предельный режим в виде $\epsilon \rightarrow 0$. Предел $\epsilon \rightarrow 0$ называется бездисперсионным пределом.

Если мы также предположим, что решения не зависят от y при $\epsilon \rightarrow 0$, то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:

$\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.$

Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — $O(\epsilon )$ — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дейви-Стюартсона.

См. также

• Уравнение Новикова — Веселова
• Проблема Шоттки
• Бездисперсионное уравнение Кадомцева — Петвиашвили

Литература

• Кадомцев, Б. Б.; Петвиашвили, В. И. (09.02.1970). "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР. 15: 539—541. Bibcode:1970SPhD...15..539K. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка). Translation of "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР. 192: 753—756. 09.02.1970. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)
• Кодама, Ю. KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns : [англ.]. — Springer, 2017. — ISBN 978-981-10-4093-1.
• Лу, С.-Ю.; Ху, С.-Б. (21.03.1997). "Infinitely many Lax pairs and symmetry constraints of the KP equation". Journal of Mathematical Physics (англ.). 38 (12): 6401—6427. doi:10.1063/1.532219. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)
• Минцони, А. А.; Смит, Н. Ф. (Ноябрь1996). "Evolution of lump solutions for the KP equation". Wave Motion (англ.). 24 (3): 291—305. doi:10.1016/S0165-2125(96)00023-6. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)
• Накамура, А. (12.09.1988). "A bilinear N-soliton formula for the KP equation". Journal of the Physical Society of Japan (англ.). 58 (2): 412—422. doi:10.1143/JPSJ.58.412. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= and |year= / |date= mismatch (справка)
• Превиато, Эмма (2001), "KP-equation", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Сяо, Т.; Цзэн, Ю. (30.06.2004). "Generalized Darboux transformations for the KP equation with self-consistent sources". Journal of Physics A: Mathematical and General (англ.). 37 (28): 7143. arXiv:nlin/0412070. doi:10.1088/0305-4470/37/28/006. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Джони Биондини и Дмитрий Пелиновский. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.). Scholarpedia.
• Бернар Деконинк. The KP page (англ.). University of Washington, Department of Applied Mathematics. Дата обращения: 20 октября 2022. Архивировано из оригинала 6 февраля 2006 года.