Пфаффово уравнение

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида $\omega =0$ , где $\omega$ — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия $M^{n}$ размерности $n$ . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии $M^{n}$ введены (локальные) координаты $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

a_{1}(x)\,dx_{1}+a_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{n}(x)\,dx_{n}=0,

где $a_{i}(x)$ — скалярные функции, заданные на $M^{n}$ . Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0,\quad x,y\in \mathbb {R}

.

Пфаффова система

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида $\omega _{1}=0,\omega _{2}=0,\ldots ,\omega _{m}=0$ , где $\omega _{i}$ — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия $M^{n}$ размерности $n$ . В координатах пфаффова система имеет вид

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,dx_{1}+a_{12}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{1n}(x)\,dx_{n}&=0\\a_{21}(x)\,dx_{1}+a_{22}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{2n}(x)\,dx_{n}&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,dx_{1}+a_{m2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{mn}(x)\,dx_{n}&=0.\\\end{matrix}}\right.\qquad \qquad (*)$

Рангом пфаффовой системы в точке $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ называется число $r(x)$ , равное рангу матрицы $(a_{ij}(x))$ . Обычно бывает $r(x)<n$ .

Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве $T_{x}M^{n}$ векторное подпространство размерности $n-r(x)$ , которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на $M^{n}$ называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при $r(x)\equiv n-1$ распределение является полем направлений на $M^{n}$ , при $r(x)\equiv n-2$ распределение является полем двумерных плоскостей, а при $r(x)\equiv 1$ распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат $x_{1},\ldots ,x_{n}$ одну (например, $x_{n}$ ) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на $dx_{n}$ , получаем систему ОДУ первого порядка:

$\left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,x_{1}'+a_{12}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{1n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{1n}(x)&=0\\a_{21}(x)\,x_{1}'+a_{22}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{2n}(x)&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,x_{1}'+a_{m2}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{mn}(x)&=0,\\\end{matrix}}\right.\qquad \qquad (**)$

где $x_{i}'=dx_{i}/dx_{n}$ .

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат $(dx_{1},\ldots ,dx_{n})$ к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию $M^{n}$ .

Интегрирование пфаффовых систем

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей $1,2,\ldots ,n-1$ в многообразии $M^{n}$ , на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность $S$ в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к $S$ содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга $m<n$ называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия $M^{n}$ проходит интегральная поверхность $S_{n-m}$ максимально возможной размерности $n-m$ .

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга $m<n$ с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии $M^{n}$ приводится к каноническому виду

dx_{1}=0,\ dx_{2}=0,\,\ldots ,\,dx_{m}=0.

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{m}\wedge d\omega _{i}=0\quad \ i=1,\ldots ,m,\qquad \qquad (***)

где $d\omega _{i}$ означает внешний дифференциал 1-формы и $\wedge$ означает внешнее произведение форм.

Примеры

Пфаффово уравнение $\omega =dx_{1}+dx_{2}+dx_{3}=0$ вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости $x_{1}+x_{2}+x_{3}=c$ в трёхмерном пространстве. С помощью замены ${\tilde {x}}_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}$ это уравнение приводится к каноническому виду $d{\tilde {x}}_{1}=0.$ Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как $d\omega =0.$

Пфаффово уравнение $\omega =x_{3}\,dx_{1}+dx_{2}=0$ не является вполне интегрируемым. В этом случае $d\omega =dx_{3}\wedge dx_{1}$ и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

\omega \wedge d\omega =(x_{3}\,dx_{1}+dx_{2})\wedge (dx_{3}\wedge dx_{1})=dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}\neq 0.

См. также

Литература

Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.