Уравнение Фоккера — Планка

Уравнение Фоккера — Планка  — одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры: размер (в теории коалесценции), масса и т. д.

Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера — Планка.

ОпределениеПравить

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности  , описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале  , если в момент времени 0 она имела начальную скорость  , и записать для   уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для   переменных:

 

где   — вектор сноса и   — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениямиПравить

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

 

где   — функция состояния системы, а   — стандартное  -мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как  , то плотность вероятности   состояния системы   является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

 
 

ПримерПравить

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

 

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

 

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случаеПравить

В одномерном случае УФП приобретает вид:

 

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

  (то есть значение функции   вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью   и временно́й осью  , в интервалы   и   соответственно) при любом начальном значении   и   и начальном условии  , где   — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени   функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности   Тогда, УФП справедливо для вероятности   с начальным условием  , которое менее сингулярно, чем  . Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

 

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

ВыводПравить

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен[1] Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым[2] (переиздано в[3]).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Боголюбов Н. Н. (мл.), Санкович Д. П. (1993). Николай Николаевич Боголюбов. Очерк научной деятельности // Физика элементарных частиц и атомного ядра 24(5): 1224—1293.
  2. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1939). Об уравнениях Фоккера — Планка, которые выводятся в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущённого гамильтониана // Записки кафедры математической физики Института нелинейной механики АН УССР. 4: 5—80  (укр.).
  3. Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов в 12 томах. — Том 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — М.: Наука, 2006. — ISBN 5-02-034142-8.

ЛитератураПравить

  • Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
  • Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с. — («Теоретическая физика», том X). — 50 000 экз.