Стохастическое исчисление Ито

Исчисление Ито — математическая теория, обобщающая методы математического анализа для применения к случайным процессам, таким как броуновское движение (см. также винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито:

Интеграл Ито $Y_{t}(B)$ (голубой) от броуновского движения $B$ (красный) относительно самого себя, то есть и подынтегральный процесс, и интегратор равны $B$. Оказывается, что $Y_{t}(B)=(B^{2}-t)/2$.

$Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$

где $H_{s}$ — процесс, локально интегрируемый с квадратом и адаптированный под фильтрацию, порождённую процессом $X_{s}$, который, в свою очередь, является броуновским движением или, в более общей формулировке, полумартингалом. Можно показать, что к траекториям броуновского движения неприменимы стандартные методы интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является дифференцируемой функцией ни в одной точке траектории и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если подынтегральная функция $H_{s}$ является адаптированным процессом, то есть её значение в момент времени $t$ зависит только от информации, доступной до этого момента времени.

Поведение стоимости акций и других финансовых активов можно промоделировать такими стохастическими процессами, как броуновское движение или более часто применяющееся геометрическое броуновское движение (см. также модель Блэка — Шоулза). В этом случае стохастический интеграл Ито представляет собой прибыль от непрерывной во времени рыночной стратегии, в которой в момент времени $t$ у участника рынка имеется $H_{t}$ ценных бумаг. В такой ситуации условие адаптированности процесса $H$ соответствует необходимому ограничению модели, заключающемуся в том, что рыночную стратегию в каждый момент времени можно основывать только на имеющейся в данный момент информации. Это условие предотвращает возможность поступления неограниченной прибыли посредством очень частой торговли, покупки акций перед каждым подъёмом стоимости и их продажи перед каждым падением. Более того, условие адаптированности подынтегрального процесса обеспечивает корректность определения стохастического интеграла как предела римановых сумм.

Примеры важных результатов теории Ито — формула интегрирования по частям и формула Ито (формула замены переменной в интеграле). Эти формулы отличаются от классических формул анализа наличием слагаемых, соответствующих квадратичной вариации.

Обозначения

Определённый выше интеграл $Y$ процесса $H$ относительно процесса $X$, равный

$Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},$

также является стохастическим процессом, зависящим от времени $t$ и иногда записывающимся как $H\cdot X$.

Альтернативным способом записи интеграла $Y$ является дифференциальная форма $dY=HdX$ и её эквивалентный вариант $Y-Y_{0}=H\cdot X$.

Поскольку исчисление Ито изучает непрерывные стохастические процессы, предполагается, что определено вероятностное пространство с фильтрацией:

$(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$

σ-алгебра ${\mathcal {F}}_{t}$ символизирует информацию, доступную к моменту времени $t$. Процесс $X$ является адаптированным, если $X_{t}$ измерим в данной σ-алгебре. Броуновское движение $B$ в данном случае понимается как ${\mathcal {F}}_{t}$-броуновское, то есть стандартное броуновское движение, которое измеримо в ${\mathcal {F}}_{t}$ и для которого $B_{t+s}-B_{t}$ не зависит от ${\mathcal {F}}_{t}$ для любых $s,t\geqslant 0$.

Интегрирование относительно броуновского движения

По аналогии с интегралом Римана — Стилтьеса, интеграл Ито можно определить как предел по вероятности римановых сумм. Такой предел существует не для любой траектории.

Пусть $B$ — винеровский процесс и пусть $H$ — непрерывный слева, адаптированный и локально ограниченный случайный процесс. Если $\left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} }$ — последовательность разбиений интервала $[0,t]$, сгущающихся при росте $n$, то интеграл Ито от $H$ относительно $B$ до времени $t$ есть случайная величина, равная

$\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}),$

где предел берётся по вероятности. Можно показать, что этот предел существует, то есть определение корректно.

В некоторых приложениях (например, в теореме о представлении мартингала и определении локального времени) необходимо вычислять интегралы от разрывных процессов. Множество предсказуемых процессов является наименьшим семейством процессов, замкнутых относительно операции взятия предела последовательности, и содержит все адаптированные процессы, непрерывные слева. Если $H$ — предсказуемый процесс, такой, что для любого неотрицательного $t$

$\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,ds<\infty ,$

то можно определить интеграл от $H$ относительно $B$ и при этом $H$ называется $B$-интегрируемым. Любой такой процесс можно приблизить последовательностью $H_{n}$ адаптированных, непрерывных слева и локально ограниченных процессов в том смысле, что

$\int \limits _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\rightarrow 0$

по вероятности. Тогда интеграл Ито равен

$\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{t}H_{n}\,dB$

где предел берётся по вероятности. Можно показать, что этот предел существует, то есть определение корректно.

Определённый таким образом стохастический интеграл удовлетворяет изометрии Ито, то есть выполняется равенство

$\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]$

для любого ограниченного процесса $H$ или, в более общем случае, когда интеграл в правой части равенства конечен.

Процесс Ито

Реализация процесса Ито при $\mu =0$ и $\sigma =\psi (t-5)$, где $\psi$ — MHAT-вейвлет. Движение процесса Ито устойчиво вне области колебания вейвлета.

Процессом Ито называется адаптированный стохастический процесс, который можно представить в виде суммы интеграла относительно броуновского движения и интеграла относительно времени:

$X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.$

Здесь $B$ — броуновское движение, $\sigma$ — предсказуемый $B$-интегрируемый процесс, а $\mu$ — процесс предсказуемый и интегрируемый по Лебегу, то есть

$\int \limits _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty$

для любого $t$. Можно определить стохастический интеграл от процесса Ито:

$\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.$

Данное выражение определено для любых локально ограниченных и предсказуемых подынтегральных функций. В более общей формулировке требуется, чтобы $H\sigma$ была $B$-интегрируема, а $H\mu$ — интегрируема по Лебегу, то есть

$\int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .$

Предсказуемые процессы $H$, удовлетворяющие этому условию, называются $X$-интегрируемыми, множество всех таких процессов обозначается $L(X)$.

Важным результатом, связанным с изучением процессов Ито, является лемма Ито. Простейший вариант её формулировки следующий: для любой функции $f\in C^{2}(\mathbb {R} )$ и процесса Ито $X$ процесс $f(X)$ также является процессом Ито и выполняется равенство

$df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt.$

Данное выражение является стохастическим аналогом формулы замены переменной в интеграле и правила дифференцирования сложной функции. Оно отличается от классических формул наличием дополнительного слагаемого, включающего в себя вторую производную функции $f$ и возникающего вследствие того, что квадратичная вариация броуновского движения не равна нулю.

Полумартингалы как интеграторы

Интеграл Ито определяется относительно полумартингала $X$, то есть процесса, представимого в виде $X=M+A$, где $M$ — локальный мартингал, $A$ — процесс с конечной вариацией. Такими процессами являются, например, винеровский процесс (являющийся мартингалом), а также процессы с независимыми приращениями.

Для непрерывного слева, локального ограниченного и адаптированного процесса $H$ существует интеграл $H\cdot X$, который может быть вычислен как предел римановых сумм. Пусть $\left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} }$ — последовательность разбиений интервала $[0,t]$, сгущающихся при росте $n$. Тогда

$\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),$

где предел берётся по вероятности.

Определение стохастического интеграла для процессов, непрерывных слева, достаточно общо для применения в большинстве задач стохастического исчисления, например, в приложениях леммы Ито, при замене меры по теореме Гирсанова и при изучении стохастических дифференциальных уравнений. Тем не менее, такое определение оказывается неподходящим для других важных тем, таких как теорема о представлении мартингала и изучение локальных времён.

Понятие интеграла можно единственным образом обобщить для всех предсказуемых и локально ограниченных подынтегральных функций, так, что будут выполняться условия теоремы о мажорируемой сходимости. Если $H_{n}\to H$ и $|H_{n}|\leqslant J$ для некоторого локально ограниченного процесса $J$, то

$\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX$

по вероятности. Единственность обобщения является следствием теоремы о монотонных классах.

В общем случае стохастический интеграл $H\cdot X$ может быть определён даже если предсказуемый процесс $H$ не является локально ограниченным. Процессы $K=1/(1+|H|)$ и $KH$ являются ограниченными. Ассоциативность стохастического интегрирования влечёт за собой $X$-интегрируемость $H$, причём $H\cdot X=Y$ тогда и только тогда, когда $Y_{0}=0$ и $K\cdot Y=(KH)\cdot X$.

Свойства

Стохастический интеграл обладает следующими свойствами.

• Стохастический интеграл есть случайный процесс, являющийся элементом пространства Скорохода. Более того, стохастический интеграл есть полумартингал.

• Разрывы стохастического интеграла возникают при умножении имеющего скачки интегратора и подынтегральной функции. Скачок процесса, являющегося элементом пространства Скорохода, в момент времени $t$ равен $X_{t}-X_{t-}$ и часто обозначается $\Delta X_{t}$. Тогда

$\Delta (H\cdot X)=H\Delta X.$

Отсюда, в частности, следует, что интеграл относительно непрерывного процесса также непрерывен.

• Ассоциативность. Пусть $J$ и $K$ — предсказуемые процессы и $K$ является $X$-интегрируемым. Тогда $J$ является $(K\cdot X)$-интегрируемым тогда и только тогда, когда $JK$ является $X$-интегрируемым и в таком случае

$J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X$

• Мажорируемая сходимость. Пусть $H_{n}\to H$ и пусть $|H_{n}|\leqslant J$ для некоторого $X$-интегрируемого процесса $J$. Тогда $H_{n}\cdot X\to H\cdot X$ по вероятности при любом $t$. На компактных множествах сходимость будет равномерной.

• Стохастический интеграл коммутирует с операцией вычисления квадратичной ковариации. Если $X$ и $Y$ — полумартингалы, то любой $X$-интегрируемый процесс будет также $[X,Y]$-интегрируемым и $[H\cdot X,Y]=H\cdot [X,Y]$. Отсюда следует, что процесс квадратичной вариации стохастического интеграла равен интегралу от процесса квадратичной вариации:

$[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]$

Интегрирование по частям

Так же как и в классическом анализе, в стохастическом исчислении важным результатом является формула интегрирования по частям. Формула для интеграла Ито отличается от формулы для интеграла Римана — Стилтьеса дополнительного слагаемого, равного квадратичной ковариации. Оно появляется в связи с тем, что в исчислении Ито изучаются процессы с ненулевой квадратичной вариацией, каковыми являются только процессы с бесконечной вариацией, такие как, например, броуновское движение. Если $X$ и $Y$ — полумартингалы, то

$X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},$

где $[X,Y]$ — процесс квадратичной ковариации.

Лемма Ито

Основная статья: Формула Ито

Лемма Ито является аналогом формулы дифференцирования сложной функции или формулы замены переменной в интеграле для стохастического интеграла Ито и одним из самых мощных и наиболее часто используемых результатов стохастического исчисления.

Пусть $X=(X^{1},\ldots ,X^{n})$ — $n$-мерный полумартингал и пусть $f$ — дважды гладкая функция из $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {R}$. Тогда $f(X)$ тоже является полумартингалом и

$df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.$

Эта формула отличается от классического правила цепочки наличием квадратичной ковариации $[X^{i},X^{j}]$. Формулу можно обобщить на случай разрывных полумартингалов добавлением слагаемого, соответствующего скачкам и обеспечивающего непрерывность.

Мартингалы-интеграторы

Локальные мартингалы

Важным свойством интеграла Ито является сохранение свойства локальности мартингалов. Если $M$ — локальный мартингал, а $H$ локально ограниченный предсказуемый процесс, то интеграл $H\cdot M$ тоже будет локальным мартингалом. Можно привести примеры, когда $H\cdot M$ не является локальным для подынтегральных процессов, не являющихся локально ограниченными, однако, такое может произойти только если $M$ разрывен. Если $M$ — непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс $H$ $M$-интегрируем тогда и только тогда, когда

$\int \limits _{o}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty$

для любого $t$ и $H\cdot M$ всегда является локальным мартингалом.

Самое общее утверждение разрывного локального мартингала $M$ формулируется следующим образом: если процесс ${\sqrt {H^{2}\cdot [M]}}$ локально интегрируем, то интеграл $H\cdot M$ существует и является локальным мартингалом.

Мартингалы, интегрируемые с квадратом

Для ограниченных подынтегральных процессов стохастический интеграл Ито сохраняет пространство мартингалов, интегрируемых с квадратом, то есть мартингалов $M$, принадлежащих пространству Скорохода и удовлетворяющих свойству

$\mathbb {E} \left(M_{t}^{2}\right)<\infty$

для любых $t$. Для любого такого мартингала $M$ процесс квадратичной вариации $[M]$ интегрируем и выполняется изометрия Ито:

$\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].$

Данное равенство выполняется и в более общем случае — для любого мартингала $M$, такого, что процесс $H^{2}\cdot [M]_{t}$ интегрируем. Изометрия Ито часто используется в качестве важного этапа построения стохастического интеграла. Можно определить $H\cdot M$ как единственное расширение изометрии Ито с определённого класс простых подынтегральных процессов на случай всех ограниченных и предсказуемых процессов.

$p$-интегрируемые мартингалы

Для любого $p>1$ и любого ограниченного предсказуемого подынтегрального процесса стохастический интеграл сохраняет пространство $p$-интегрируемых мартингалов, то есть мартингалов $M$, принадлежащих пространству Скорохода, для которых

$\mathbb {E} \left(|M_{t}|^{p}\right)<\infty$

для любых $t$. Для случая $p=1$ это не всегда так: можно привести примеры интегралов от ограниченных предсказуемых процессов относительно мартингалов, не являющихся мартингалами.

Максимум процесса $M$ из пространства Скорохода обозначается как $M_{t}^{*}=\sup _{s\leqslant t}|M_{s}|$. Для любого $p\geqslant 1$ и любого ограниченного предсказуемого подынтегрального процесса стохастический интеграл сохраняет пространство мартингалов $M$ из пространства Скорохода, таких, что

$\mathbb {E} \left(\left(M_{t}^{*}\right)^{p}\right)<\infty$

для любых $t$. Из неравенства Дуба следует, что при $p>1$ данное пространство совпадает с пространством $p$-интегрируемых мартингалов.

Согласно неравенствам Буркхольдера — Дэвиса — Ганди, для любого $p\geqslant 1$ существуют положительные константы $c$ и $C$, зависящие только от $p$, такие, что для любого мартингала $M$, локально принадлежащего пространству Скорохода, выполняется

$c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right].$

С помощью этих соотношений можно показать, что если $\left(M_{t}^{*}\right)^{p}$ интегрируем и если $H$ — ограниченный предсказуемый процесс, то

$\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty$

и, как следствие, $H\cdot M$ — $p$-интегрируемый мартингал. Данное утверждение остаётся верным и в более общем случае, когда процесс $\left(H^{2}\cdot [M]\right)^{p/2}$ интегрируем.

См. также

• Интеграл Стратоновича

Литература

• Kleinert, H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (англ.). — 5th edition. — Singapore: World Scientific, 2009. — 1624 p. — ISBN 978-981-4365-26-0. — doi:10.1142/7305.
• He, S. W., Wang, J. G., Yan, J. A.. Semimartingale Theory and Stochastic Calculus (англ.). — Science Press, CRC Press Inc., 1992. — ISBN 7-03-003066-4.
• Karatzas, I., Shreve, S. E.. Brownian Motion and Stochastic Calculus (англ.). — Springer, 1991. — ISBN 0-387-97655-8.
• Protter, P. E.. Stochastic Integration and Differential Equations (англ.). — Springer, 2001. — ISBN 3-540-00313-4.
• Øksendal, B. K.. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (англ.). — Springer, 2003. — ISBN 3-540-04758-1.
• Revuz, D., Yor, M.. Continuous martingales and Brownian motion (англ.). — Berlin: Springer, 1999. — ISBN 3-540-57622-3.
• Rogers, C., Williams, D.. Diffusions, Markov processes and martingales - Volume 2: Itô calculus (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2000. — ISBN 0-521-77593-0.
• Степанов, С.. Стохастический мир (рус.). — Электронная версия.