Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Римана — Сти́лтьеса[1] — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Сти́лтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

рассматривается предел сумм

где интегрирующая функция есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией)[2]. Если непрерывно дифференцируема, то он выражается через обычный интеграл:

(если последний существует).

ПримененияПравить

Интеграл Римана-Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана-Стилтьеса[3], всякая абсолютно монотонная при   функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана-Стилтьеса[4], всякая аналитическая функция в круге   с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана-Стилтьеса[5].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • У. Рудин Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.