Уравнение движения сплошной среды

Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды:

$\rho {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\nabla \cdot T+\rho {\vec {f}}$, где

• $\rho$ — плотность в точке,
• ${\vec {v}}$ — скорость в точке,
• ${\frac {d}{dt}}$ — материальная (субстанциональная, полная) производная,
• $T$ — тензор напряжений Коши,
• ${\vec {f}}$ — вектор внешних массовых сил.

Историческая справка

Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г., краткая публикация в 1823 г., полная публикация — в 1828 г.).

Вид уравнения в декартовой системе координат

В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид

$\rho \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz}}{\partial z}}+\rho F_{x},$

$\rho \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz}}{\partial z}}+\rho F_{y},$

$\rho \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz}}{\partial z}}+\rho F_{z},$

где $\rho (x,y,z,t)$ — плотность сплошной среды, $v_{x}(x,y,z,t)$, $v_{y}(x,y,z,t)$, $v_{z}(x,y,z,t)$ — проекции скорости среды, $p_{ij}$ — компоненты тензора напряжений, $F_{x}(x,y,z,t)$, $F_{y}(x,y,z,t)$, $F_{z}(x,y,z,t)$ — компоненты вектора массовой плотности объёмных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчёта не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции.

Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы.

В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид

$\rho \left({\frac {\partial v^{i}}{\partial t}}+v^{k}\nabla _{k}v^{i}\right)=\nabla _{k}p^{ik}+\rho F^{i},\quad i=1,2,3,$

где символ $\nabla _{i}$ обозначает ковариантную производную по $i$-ой координате, а по повторяющемуся индексу $k$ производится суммирование от одного до трёх.

Специальные формы уравнения

Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), ${\vec {v}}\equiv 0$, то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия

$0={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz}}{\partial z}}+\rho F_{x},$

$0={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz}}{\partial z}}+\rho F_{y},$

$0={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz}}{\partial z}}+\rho F_{z}.$

Частными случаями уравнения движения являются

• уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости);
• уравнение Навье — Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости);
• уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды).